długości boków trapezu tworzące ciąg geometryczny

[6m6]

Długości boków trapezu prostokątnego tworzą ciąg geometryczny . Ramię, które jest najkrótszym bokiem trapezu ma długość 1. Oblicz długość dłuższej podstawy trapezu.
Dochodzę do równania \(\displaystyle{ (q-1)(q^{5}+q ^{4}-q ^{2}+q+1)=0}\) i nie wiem jak dalej coś z tego wyciągnąć. A może jest jakiś inny sposób?

[piasek101]

Jedynym miejscem zerowym tego w długim nawiasie jest liczba ujemna - bo jedynym tego samego ale bez (+1) jest zero, a całość jest ściśle rosnąca.

Ps. Kiedyś to robiłem mozesz poszukać - nie pamiętam aby były problemy.

[TheBill]

Mam problem z tym zadaniem...
Znalazłem tylko to: 102088.htm
Ale tam zadanie różni się od powyższego. Tutaj jest narzucone, że ramię prostopadłe do podstaw wynosi \(\displaystyle{ 1}\). Natomiast nie wiem, które będzie wynosić \(\displaystyle{ q}\), a które \(\displaystyle{ q^2}\).



1. przypadek. Jeżeli \(\displaystyle{ q}\) będzie krótsza podstawa, to z Pitagorasa jest równanie:

\(\displaystyle{ (q^3-q)^2+1=(q^2)^2}\)

Z tego dodatnie wyniki to: \(\displaystyle{ q_1=1 \vee q_2= \sqrt{1+ \sqrt{2} }}\)

2. przypadek. Jeżeli \(\displaystyle{ q}\) będzie drugim ramieniem, to z Pitagorasa jest równanie:

\(\displaystyle{ (q^3-q^2)^2+1=q^2}\)

Po przekształceniu: \(\displaystyle{ (q-1)(q^5-q^4-q-1)=0}\). Z wolframa wiem, że drugi nawias ma rozwiązanie: \(\displaystyle{ q \approx 1.49709}\)

Odpowiedź z książki wynosi: \(\displaystyle{ q_1=1 \vee q_2= \sqrt{1+ \sqrt{2} }}\)

Pytania:
1. Skąd mam wiedzieć który bok jest krótszy, czy ramie czy podstawa? Jeżeli przyjmę, że krótsza jest podstawa i wynosi \(\displaystyle{ q}\), to zadanie jest do rozwiązania. Co jeśli jest odwrotnie? Równanie z drugim Pitagorasem nie da się rozwiązać...
2. Dlaczego w odp. nie ma założenia, że \(\displaystyle{ q}\) musi być różne od 1? Wtedy trapez jest kwadratem, więc każdy bok jest najkrótszym a zarazem najdłuższym bokiem? bez sensu...

[Mortify]

Można "założyć", że autor tego zadania w podręczniku miał na myśli to, jak liczymy boki PO KOLEI

dlaczego mamy zakładać, że \(\displaystyle{ q \neq 1}\) ? Przecież wyszło jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ q_1 = 1}\) czyli dokładnie to, co mówisz o kwadracie..

Pozdrawiam

[TheBill]

Więc moim zdaniem powinno być "Długości kolejnych boków trapezu prostokątnego tworzą ciąg geometryczny". Mam nadzieję, że na maturze nie będzie takich nieścisłości...

dlaczego mamy zakładać, że \(\displaystyle{ q \neq 1}\) ? Przecież wyszło jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ q_1 = 1}\) czyli dokładnie to, co mówisz o kwadracie..

W którym przypadku jest jedno rozwiązanie \(\displaystyle{ q=1}\) ? W tym i w tym przypadku są dwa rozwiązania, z czego \(\displaystyle{ q=1}\) należy odrzucić, bo moim zdaniem kwadrat nie ma najkrótszego boku

[Mortify]

Hmm to już kwestia umowy, jak mamy rozumieć najkrótszy.. czy jako mniejszy równy długością od pozostałych czy jako mniejszy.

Ja bym się jednak upierał, że w kwadracie dowolny bok jest zarazem najkrótszy i najdłuższy.

Ups, niefortunnie się wyraziłem z tym "jednym" rozwiązaniem. Chodziło mi, że wśród rozwiązań otrzymaliśmy kwadrat.