graniastosłupy i ich przekątne

[alicja44]

w graniastosłupie prostym podstawą jest romb o kącie ostrym 60 stopni.Dłuższa przekątna graniastosłupa o długości 4 pierwiastki z 3 cm. tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30 stopni.Oblicz objętość tego graniastosłupa.

[Maaaaaaaaaaaartines]

Dłuższa przekątna graniastosłupa (\(\displaystyle{ D}\))jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokatnym o przyprostokątnych \(\displaystyle{ H}\) (wysokość graniastosłupa) i \(\displaystyle{ d}\) (dłuższa przekątna rombu), kąt \(\displaystyle{ 30 stopni}\) to kąt zawarty pomiędzy \(\displaystyle{ D}\) granistosłupa i d.

Wykorzystując funkcje trygonometryczne obliczamy długość wysokości graniastosłupa:
\(\displaystyle{ \frac{H}{D}=sin30^o}\)
\(\displaystyle{ \frac{H}{4 \sqrt{3} }= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ H=2 \sqrt{3}}\)

Wykorzystując funkcje trygonometryczne obliczamy dłuższą przekątną rombu (podstawy):
\(\displaystyle{ \frac{d}{D}=cos30^o}\)
\(\displaystyle{ \frac{d}{4 \sqrt{3}}= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ d=6}\)

Obliczamy krótszą przekatną rombu \(\displaystyle{ (k)}\)wykorzystując funkcje trygonometryczne:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{k}{2} }{ \frac{d}{2} }=tg30^o}\)
\(\displaystyle{ \frac{k}{d} =tg30^o}\)
\(\displaystyle{ \frac{k}{6} = \frac{ \sqrt{3} }{3}}\)
\(\displaystyle{ k=2 \sqrt{3}}\)

Obliczamy pole podstawy (rombu):
\(\displaystyle{ P = \frac{k*d}{2} = \frac{12 \sqrt{3} }{2} = 6 \sqrt{3}}\)

Obliczamy objętość graniastosłupa:
\(\displaystyle{ V=P*H=6 \sqrt{3} *2 \sqrt{3} = 12 * 3 = 36}\)