Ciekawy problem z równoległobokiem w czworokącie

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
CMAS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 3 lut 2010, o 11:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PL
Podziękował: 2 razy

Ciekawy problem z równoległobokiem w czworokącie

Post autor: CMAS »

Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\). Na środkach boków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) obrano punkty odpowiednio \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\).
Wykaż, że środki odcinków \(\displaystyle{ AF}\),\(\displaystyle{ BF}\),\(\displaystyle{ DE}\),\(\displaystyle{ CE}\) są wierzchołkami równoległoboku.
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Ciekawy problem z równoległobokiem w czworokącie

Post autor: timon92 »

Niech \(\displaystyle{ K,L,M,N}\) będą środkami odcinków \(\displaystyle{ AF,BF,DE,CE}\). Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ EF}\).

Przy jednokładności o środku \(\displaystyle{ F}\) i skali \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) odcinek \(\displaystyle{ AB}\) przechodzi na \(\displaystyle{ KL}\), punkt \(\displaystyle{ E}\) przechodzi na punkt \(\displaystyle{ X}\), środek \(\displaystyle{ AB}\) przejdzie na środek \(\displaystyle{ KL}\), czyli \(\displaystyle{ X}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ KL}\).

Analogicznie rozważając jednokładność o środku \(\displaystyle{ E}\) i skali \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ X}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ MN}\).

Zatem odcinki \(\displaystyle{ KL, MN}\) tną się na pół, zatem \(\displaystyle{ KMLN}\) jest równoległobokiem, cbdu.
ODPOWIEDZ