Przekatna kwadratu

paula6662 · Post autor: **paula6662** » 27 lut 2010, o 11:27

Udowodnij, że w kwadracie ABCD, przekątna AC jest podzielona przez odcinki: DE i DF (E, F - śrdoki boków odp: AB, BC) na trzy równe części.

Zadanie to mam rozwiązać na 5 różnych sposobów i bardzo proszę o pomoc w ich znalezieniu...

timon92 · Post autor: **timon92** » 27 lut 2010, o 13:11

sposób 1. analitycznie
sposób 2. twierdzenie Talesa
sposób 3. podobieństwo trójkątów
sposób 4. jeśli X jest punktem przecięcia FD i AC to X jest środkiem ciężkości trójkąta BCD - stąd blisko do tezy
sposób 5. przeliczyć na wektorach

paula6662 · Post autor: **paula6662** » 28 lut 2010, o 20:40

no więc z podobieństwa, i z Talesa wiem jak rozwiązać... Ale analiztycznie i z uzyciem wektorów nie mam pojęcia... Mogłabym prosić o rozwinięcie ?

timon92 · Post autor: **timon92** » 4 mar 2010, o 18:09

analitycznie: umieszczasz kwadrat w układzie współrzędnych, dobierasz tak współrzędne, by było jak najprościej liczyć, np. A=(0,0), B=(0,2), C=(2,2), D=(2,0), potem sobie liczysz współrzędne punktów E, F, dalej wyznaczasz równania prostych i wyliczasz współrzędne punktów przecięcia, następnie wzór na długość odcinka i gotowe

a na wektorach: myślałem że jakoś się da, ale nie udało mi się przeliczyć na wektorach

natomiast można strzelić z armaty: prowadzimy prostą prostopadłą do AC przechodzącą przez C, niech przetnie ona proste AD i AB w punktach K, L, niech X będzie częścią wspólną AC i DE, niech Y będzie częścią wspólną BX i AD. rozważając np. symetrię względem prostej AC mamy, że Y połowi odcinek AD. Mamy też oczywiście AD=DK, AB=BL, i z twierdzenia van Aubela mamy AX/XC = AE/EL+AY/YK = 1/4+1/4 = 1/2

no i tak na marginesie: jeśli ABCD jest równoległobokiem, to teza nadal zachodzi