Niech \(\displaystyle{ ABCDE}\) będzie pięciokatem wypukłym.
Pokaż że istnieją \(\displaystyle{ 3}\) przekątne, które są bokami trojkata.
przekatne tworzace trójkat
-
timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
przekatne tworzace trójkat
Spostrzeżenie: w pięciokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCDE}\) przekątne \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ BD}\) się przecinają
Wniosek: jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest tym punktem przecięcia, to \(\displaystyle{ AC+BD>AX+DX>AD}\)
Bez straty ogólności niech \(\displaystyle{ AD}\) będzie najdłuższą z przekątnych.
Nie wprost przypuśćmy, że takie trzy przekątne nie istnieją. Wówczas z odcinków AD, BC, AC nie można zbudować trójkąta, więc skoro \(\displaystyle{ AD = \max(AD, BD, AC)}\), to \(\displaystyle{ AD \ge AC+BD}\), sprzeczność z Wnioskiem ze Spostrzeżenia.
Wniosek: jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest tym punktem przecięcia, to \(\displaystyle{ AC+BD>AX+DX>AD}\)
Bez straty ogólności niech \(\displaystyle{ AD}\) będzie najdłuższą z przekątnych.
Nie wprost przypuśćmy, że takie trzy przekątne nie istnieją. Wówczas z odcinków AD, BC, AC nie można zbudować trójkąta, więc skoro \(\displaystyle{ AD = \max(AD, BD, AC)}\), to \(\displaystyle{ AD \ge AC+BD}\), sprzeczność z Wnioskiem ze Spostrzeżenia.