Trapez prostokątny

WoytaS · Post autor: **WoytaS** » 25 lut 2010, o 13:05

Trapez prostokątny opisany na okręgu o promieniu 2 ma jedna podstawę dwa razy dłuższą od drugiej. Oblicz obwód trapezu.

Wysokość będzie miała 4 i z własności wynika że 3b=c+4, gdzie b to krótsza podstawa, a c to b to bok nieprostopadły do podstawy. Ale co dalej? Proszę o pomoc!

mkb · Post autor: **mkb** » 25 lut 2010, o 13:46

Kontynuując oznaczenia boków: 2b, b - podstawy, c - bok ukośny:
Pole powierzchni trapezu to (ze wzoru dla trapezu i ze wzoru na pole wielokąta opisanego na okręgu):
\(\displaystyle{ S=3br= \frac{(3b+2r+c)r}{2}}\)
skąd:
\(\displaystyle{ 3b=2r+c}\)
Z drugiej strony, po przedłużeniu boków trapezu, otrzymamy trójkąt prostokątny o wysokości 4r, w którym (177507.htm):
\(\displaystyle{ r= \frac{2b+4r-2c}{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ b+r-c=0}\)
Dalej już można wyznaczyć b i c jako funkcje r, a następnie obwód trapezu.

WoytaS · Post autor: **WoytaS** » 25 lut 2010, o 14:27

dzięki wielkie:)

mort123 · Post autor: **mort123** » 27 lut 2010, o 16:17

Proszę o dokładniejsze wytłumaczenie tego zadania, bo nie moge tego ogarnąć ;/

mkb · Post autor: **mkb** » 27 lut 2010, o 16:41

Zamiast "drugiej strony" można skorzystać z \(\displaystyle{ (2r)^2+b^2=c^2}\)
A po kolei:
Trapez ma podstawy 2b i b, bok prostopadły: 2r, bok ukośny: c.
Pierwszy wzór (na pole) to klasyczny: suma podstaw * wysokość / 2. Dalsza część to pole czterech trójkątów o wysokości r i podstawach będących bokami; na rysunku połącz środek okręgu wpisanego z wierzchołkami, a będzie widać, o co chodzi.
Brakujące powiązanie to albo wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny (powstały po przedłużeniu boków trapezu, jest identyczny z okręgiem wpisanym w trapez) albo wzór powyżej.
Powodzenia!