pole równoległoboku

[matematyk89]

kłopotliwe zadanko:( a oto jego treść: Punkty ABCD są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku o obwodzie równym 26. Kąt ABC=120 A promień okręgu wpisanego w trójkąt BCD jest równy \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\). oblicz długość boków i pole tego równoległoboku

[anncecile]

kąt ABCD, a to ciekawe... podejrzewam, że chodziło o kąt ABC. jeśli kąt rozwarty w rombie ma miarę \(\displaystyle{ 120^{o}}\), to romb ten składa się z dwóch przystających trójkątów równobocznych o boku a, gdzie :
\(\displaystyle{ 4*a=26 \Rightarrow a=6,5}\)

pole można policzyć z sumy dwóch pól trójkątów:

\(\displaystyle{ P_{r}=2*P_{t} \wedge P_{t}= \frac{a ^{2}* \sqrt{3} }{4}}\)

\(\displaystyle{ P_{r}= 21,125 * \sqrt{3}}\)

promień widocznie jest dla zmyłki, albo jak ktos nie zauważy trójkątów

[schabik]

Skąd wziął się ten romb, nie wiem, ale...

\(\displaystyle{ 2a + 2b = 26 \Rightarrow a + b = 13}\)

Niech b będzie krótszym bokiem.

Równoległobok ma kąt ostry \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\), bo suma kątów to \(\displaystyle{ 2 \pi}\)

Odcinek łączący środek okręgu wpisanego z wierzchołkiem kąta ostrego dzieli go na połowę.
Jeden promień okręgu opuszczony na bok b, drugi na przekątną równoległoboku. Oba promienie tworzą kąt prosty z bokiem b i przekątną, wycinają więc kwadrat o boku \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\).

Wobec tego bok \(\displaystyle{ b = \sqrt{3} + x}\).
Brakującą wartość x znajdujemy z \(\displaystyle{ tg \frac{ \pi }{6} = \frac{ \sqrt{3} }{3}}\).
Stąd x = 3.

A zatem \(\displaystyle{ b = 3 + \sqrt{3}}\)
A zatem \(\displaystyle{ a = 10 - \sqrt{3}}\)

Jak wyżej zauważyliśmy równoległobok składa się z dwóch trójkątów prostokątnych, a zatem jego pole:

\(\displaystyle{ P=2 \frac{1}{2}(10- \sqrt{3})(3+ \sqrt{3})}\)

[matematyk89]

w odpowiedziach jest a=8, b=5 \(\displaystyle{ P= 20\sqrt{3}}\)

[anncecile]

ajj sorry.. źle przeczytałam zadanie mea culpa