Zadania do matury z planimetrii

[Stonek]

Witam,

Rozwiązywałem sobie zadania na maturę i niestety natrafiłem na problemy. Nie wiem jak rozwiązać niektóre zadania. Proszę o jakąkolwiek pomoc.
Będę niesamowicie wdzięczny!

Zad. 1
Środkowe w trójkącie ABC przecinają się w punkcje P odległym od wierzchołka A o 6 cm. Wobec tego środkowa poprowadzona na bok BC ma długość.


Zad. 2
Punkt P jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów \(\displaystyle{ ACB}\) oraz \(\displaystyle{ ABC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) . Przez punkt P poprowadzono prostą równoległą do boku AB, która przecięła \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie M i bok \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie N.
a) Wykaż, że \(\displaystyle{ |MN|=|AM|+|BN|}\)
b) Wiedząc dodatkowo, że obwód trójkąta \(\displaystyle{ MNC}\) jest równy 15 cm, a długość odcinka \(\displaystyle{ AB}\) wynosi 10cm, oblicz obwód trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) .

Zad. 3
Z punktu P leżącego na zewnątrz okręgi o środku O poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie K oraz sieczną, która ma z tym okręgiem dwa punkty wspólne M i N takie, że \(\displaystyle{ |PM|<|PN|}\) . Wiadomo, że \(\displaystyle{ | \sphericalangle MKP|=40stopni}\) oraz \(\displaystyle{ | \sphericalangle NMK|=80stopni}\). oblicz miary kątów trójkąta PNK.

Zad. 4
Wykaż, że jeśli a, b, c są długościami boków trójkąta ostrokątnego takimi, że a<b<c oraz \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\)są miarami kątów tego trójkąta leżącymi odpowiednio naprzeciwko \(\displaystyle{ a,b,c}\) to \(\displaystyle{ tg \alpha, tg \beta, tg \gamma}\)

Zad. 5
Suma sinusów kątów ostrych w pewnym trójkącie prostokątnym wynosi \(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{5} }{3}}\). Oblicz iloczyn sinusów tych katów.

Zad. 6
W trójkącie ABC mamy dane: \(\displaystyle{ |AC|= \sqrt{3}}\) i \(\displaystyle{ | \sphericalangle ACB|=90stopni}\) . Przez wierzchołek C poprowadzono prostą, która utworzyła z bokiem AC kąt 60stopni i przecięła bok AB w punkcie D tak, że \(\displaystyle{ |AD|:|DB|=1:3}\)
a) Wykonaj rysunek
b) Oblicz długości boków AB i CB oraz długość odcinka CD.

Zad. 7
W równoległobok o przekątnych długości 20cm i 12cm wpisano romb w taki sposób, że boki rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku oraz każdy wierzchołek rombu należy do innego boku równoległoboku. Oblicz długość boku rombu.

[piasek101]

1. Środkowe przecinają się w stosunku 2 : 1 licząc od wierzchołka.

7. Tylko liczby inne :
121525.htm

Zad. 4[/b]
Wykaż, że jeśli a, b, c są długościami boków trójkąta ostrokątnego takimi, że a<b<c oraz \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\)są miarami kątów tego trójkąta leżącymi odpowiednio naprzeciwko \(\displaystyle{ a,b,c}\) to \(\displaystyle{ tg \alpha, tg \beta, tg \gamma}\)

Nie do ruszenia.