suma długości środkowych i środki boków czworokąta.

kuba1492 · Post autor: **kuba1492** » 21 lut 2010, o 15:43

Witam.
Siedzę nad tymi zadankami już dość długo. Niestety nie wiem jak się za to zabrać. Proszę o jakieś wskazówki.
1. Wykaż, że suma długości trzech środkowych w trójkącie jest mniejsza od \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) sumy długości jego boków.
2. Wykaż, że w dowolnym czworokącie wypukłym środki jego boków są wierzchołkami pewnego równoległoboku.

iLoNkAaa · Post autor: **iLoNkAaa** » 21 lut 2010, o 16:39

1.rysujesz trójkąt i oznaczasz wierzchołki ABC oraz środkowe AD, BE, CF
\(\displaystyle{ AD<AB+ \frac{1}{2}BC}\)

\(\displaystyle{ AD<AC+ \frac{1}{2}BC}\)

\(\displaystyle{ BE<AB+ \frac{1}{2} CA}\)

\(\displaystyle{ BE<BC+ \frac{1}{2}CA}\)

\(\displaystyle{ CF<BC+ \frac{1}{2}AB}\)

\(\displaystyle{ CF<CA+ \frac{1}{2}AB}\)

\(\displaystyle{ 2(AD+BE+CF)<3(AB+BC+CA)}\)

\(\displaystyle{ AD+BE+CF< \frac{3}{2}(AB+BC+CA)}\)
c.n.d

drugie zadanie tez zrób na wektorach

gblablabla · Post autor: **gblablabla** » 1 gru 2010, o 19:24

\(\displaystyle{ AD<AB+ \frac{1}{2}BC}\)
Z czego to wynika? Gdyby to były wektory, to byłby tam znak równości.
Z góry dzięki.

akw · Post autor: **akw** » 1 gru 2010, o 23:21

To nie wektory a nierówności w trójkącie które gwarantują istnienie trójkąta. Zauważ, że gdyby \(\displaystyle{ |AD| = |AB|+ \frac{1}{2}|BC|}\)
to nie byłoby trójkąta a tylko kilka współliniowych punktów.

gblablabla · Post autor: **gblablabla** » 5 gru 2010, o 14:16

Dzięki wielkie. Na maturze trzeba by to też udowodnić?

akw · Post autor: **akw** » 5 gru 2010, o 14:27

Udowadniać że istnieją nierówności w trójkącie gwarantujące jego istnienie? Nie nie trzeba. Ale możesz napisać to jest jedno zdanie.

gblablabla · Post autor: **gblablabla** » 13 gru 2010, o 21:40

Ok, dzięki.