Witam,
natrafiłem na takie ciekawe (moim zdaniem) twierdzenie (A. Kiełbasa, P. Łukasiewicz. Matematyka, Matura 2009, 2010,cz. II, planimetria, z. 301):
Jeżeli \(\displaystyle{ n}\) prostych zawiera się w jednej płaszczyźnie i żadne dwie nie są równoległe oraz żadne trzy nie przechodzą przez jeden punkt, to proste te rozcinają płaszczyznę na \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(n^2+n+2)}\) rozłącznych części.
Czy ktoś wie gdzie można zapoznać się z jego dowodem?
Można to łatwo pokazać indukcyjnie. Sprawdź najpierw, że dla \(\displaystyle{ n=2}\) wzór się zgadza, a potem zastanów się, dlaczego dodanie do układu n takich prostych jeszcze jednej prostej powoduje powstanie n+1 nowych obszarów. Jak rozwiążesz ten problem, to masz dowód,bo: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}(n^{2}+n+2)+(n+1)=\frac{1}{2}((n+1)^{2}+(n+1)+2)}\).
