W okregu o srodku O

[Malibu]

W okregu o srodku O poprowadzono srednice AB. Punkt C położony jest na okręgu w ten sposób, ze suma miar katow AOC i ABC jest rowna 120st. . Wyznacz miary katow trojkata ABC.

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ \alpha=|\angle ABC|}\). Ponieważ \(\displaystyle{ |BO|=|CO|}\), to trójkąt \(\displaystyle{ BOC}\) jest równoramienny. Zatem \(\displaystyle{ |\angle OBC|=|\angle OCB|=\alpha}\). Stąd i z twierdzenia o sumie miar katów w trójkącie mamy \(\displaystyle{ |\angle BOC|=180^o-2\alpha}\). Kąt \(\displaystyle{ \angle AOC}\) jako przyległy do \(\displaystyle{ \angle BOC}\) ma zatem miarę \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Stąd i z założenia dostajemy \(\displaystyle{ 120^o=|\angle AOC|+|\angle ABC|=2\alpha+\alpha=3\alpha}\), tj. \(\displaystyle{ \alpha=40^o}\). Zatem mamy \(\displaystyle{ |\angle ABC|=40^o}\).
Kąt \(\displaystyle{ \angle ACB}\) jest kątem prostym jako kąt oparty na półokręgu. Wobec tego i twierdzenia o sumie miar kątów w trójkącie dostajemy, że \(\displaystyle{ |\angle BAC|=180^o-|\angle ABC|-|\angle ACB|=50^o}\).

[ppolciaa17]

trójkąt którego podstawą jest srednica jest trójkątem prostokątnym.. kąt ACB ma 90 stopni..
a reszta do obliczania z rysunku


załóżmy ze AOC to \(\displaystyle{ \alpha}\) i jest to kąt środkowy czyli ABC jest dwa razy mniejszy \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \alpha}\)

\(\displaystyle{ 1,5 \alpha =120}\)
\(\displaystyle{ \alpha =80}\)

ABC ma 40 a CAB 50