Dowód geometryczny, czworokąt.

Lolek271 · Post autor: **Lolek271** » 20 lut 2010, o 02:32

Witam, mam problem.

Wykaż, że dla czworokąta ABCD przedstawionego na rysunku prawdziwa jest zależność \(\displaystyle{ AC=BDsin \beta}\)

Opiszę do czego doszedłem.

\(\displaystyle{ S _{ABCD}= \frac{AB*AD+BC*CD}{2}= \frac{(AB*BC+CD*DA)sin \beta }{2}}\)

\(\displaystyle{ AC*BD=AB*CD+AC*BD}\)

Oczywiście jeszcze równania pitagorasa dla trójkątów ABD i BCD.

Justka · Post autor: **Justka** » 20 lut 2010, o 09:11

Trójkąty ABC i BDC są wpisane w ten sam okrag. więc z tw. sinusów mamy
\(\displaystyle{ \frac{|DB|}{\sin 90^0} =\frac{|AC|}{\sin\beta}}\) co jest równoważne tezie

Lolek271 · Post autor: **Lolek271** » 20 lut 2010, o 12:08

Jak do tego doszłaś? Szczerze, to byłaby ostatnia rzecz, na którą bym wpadł, robiąc to zadanie. Raczej próbowałem jakoś algebraicznie.

nemezis100807 · Post autor: **nemezis100807** » 23 kwie 2010, o 23:39

Szczerze to dosyć naciągany dowód

vincent · Post autor: **vincent** » 29 kwie 2010, o 18:24

Moim zdaniem dowód jest bardzo dobry (i prosty zarazem). To że ten sam okrąg jest opisany na tych dwóch trójkątach wynika z własności wpisania czworokąta w okrąg (suma przeciwległych kątów jest sobie równa i wynosi 180).

diego_maradona · Post autor: **diego_maradona** » 20 lut 2011, o 20:01

Sorki że odkopuję trupa, ale jakby ktoś wyjaśnił, dlaczego można użyć tw sinusów dla dwóch różnych trójkątów, to byłbym wdzięczny. Jak na razie podzielam opinię że dowód Justka jest mocno naciągany.

yahu · Post autor: **yahu** » 29 kwie 2011, o 18:38

Dowód świetny, nic dodać nic ująć i do tego najprostszy, więc także najlepszy. A powołać się można na naszego znajomego ze szkoły średniej pana Snelliusa i jego twierdzenie zwane też twierdzeniem sinusów, z którego wynika, że : \(\displaystyle{ \frac{a}{sin \alpha }=2R}\). Gdzie \(\displaystyle{ R}\) to promień okręgu opisanego na trójkącie.
Innymi słowy za wikipedią: "W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na trójkącie".

groove_me · Post autor: **groove_me** » 18 kwie 2013, o 15:18

Chodzi o to, że jeśli okrąg można opisać na czworokącie ABCD, to opisany jest on także na trójkątach które powstają z podzielenia tego czworokąta przekątną (widać to bardzo dobrze jak na rysunku narysuje się okrąg). Tak więc tw. sinusów można użyć dla dwóch różnych trójkątów, gdyż okrąg na nich opisany to ten sam okrąg;)