kąty w trapezie

forget-me-not · Post autor: **forget-me-not** » 19 lut 2010, o 16:17

W trapezie równoramiennym krótsza podstawa i ramię mają taką samą długość. Przekątna trapezu tworzy z jednym z ramion kąt prosty. Oblicz miary kątów tego trapezu.

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 19 lut 2010, o 16:51

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \alpha}\) miarę kąta ostrego trapezu. Dowolna przekątna trapezu dzieli go na trójkąty: prostokątny oraz równoramienny (w myśl założenia). Kąt rozwarty trapezu ma miarę \(\displaystyle{ 180^o-\alpha}\). Z drugiej strony jednak, jest on sumą kąta prostego oraz kąta przy podstawie trójkąta równoramiennego powstałego przez wyżej opisany podział trapezu. Zatem kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego ma miarę \(\displaystyle{ (180^o-\alpha)-90^o=90^o-\alpha}\). Wobec tego kąt w tym trójkącie zawarty między ramionami ma miarę \(\displaystyle{ 180^o-2(90-\alpha)=2\alpha}\). Jest to jednak drugi z kątów rozwartych w trapezie. Zatem mamy \(\displaystyle{ 180^o-\alpha=2\alpha}\), tj. \(\displaystyle{ \alpha=60^o}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ 180^o-\alpha=120^o}\).
Kąt ostry w tym trapezie ma miarę \(\displaystyle{ 60^o}\), a kąt rozwarty \(\displaystyle{ 120^o}\).

forget-me-not · Post autor: **forget-me-not** » 19 lut 2010, o 21:03

bardzo dziękuję za pomoc !