podział równoległoboku

[darek111]

Odcinek łączący środki ramion trapezu rozcina ten trapez na dwie figury, z których jedna ma pole Cztery centymetry kwadratowe - a druga Sześć centymetrów kwadratowych . Oblicz pola figur, na które rozcina ten sam trapez jego przekątna.

[dramacik]

Tytuł postu jest trochę mylący, no ale to musi być trapez. Z danych wyliczamy, że krótsza i dłuższa podstawa tego trapezu mają się do siebie jak \(\displaystyle{ \frac{3}{7}}\). A ponieważ przekątna podzieli trapez na dwa trójkąty o równych wysokościach i podstawach równych podstawom trapezu, to ich pola też są w stosunku \(\displaystyle{ \frac{3}{7}}\). Skoro pole trapezu jest \(\displaystyle{ 10}\), to pola tych trójkątów są \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 7}\).

[darek111]

Tak pomyłka w tytule. Dlaczego 3:7 ?

[dramacik]

Oznaczmy długości podstaw trapezu: \(\displaystyle{ a}\) - krotszej, \(\displaystyle{ b}\) - dłuzszej. Niech \(\displaystyle{ s}\) to będzie długość odcinka łączącego środki ramion (zachodzi \(\displaystyle{ s=\frac{a+b}{2}}\)), a niech \(\displaystyle{ h}\) to będzie wysokość trapezu. Mamy równości następujące, ze wzoru na pole trapezu:
\(\displaystyle{ 10=s\cdot h\quad 4=\frac{h}{2}\cdot\frac{a+s}{2}\quad 6=\frac{h}{2}\cdot\frac{b+s}{2}}\)
Po przekształceniach wychodzi, że
\(\displaystyle{ a=\frac{6}{h}\qquad b=\frac{14}{h}}\)

Stąd \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}}\)