pole prostokąta

[19marxs]

Mam takie zadanie:
Promień okręgu, przechodzącego przez cztery wierzchołki prostokąta, ma długość 2, a kąt ostry między przekątnymi tego prostokąta ma miarę 45 stopni. Oblicz pole prostokąta.
Z góry dzięki za pomoc, pozdrawiam.

[macpra]

\(\displaystyle{ sin22,5^\circ= \frac{ \frac{a}{2} }{2}\\\\
0,382683=\frac{a}{4}\\\\
a \approx 1,530732}\)

\(\displaystyle{ cos22,5^\circ= \frac{ \frac{b}{2} }{2}\\\\
0,92388=\frac{b}{4}\\\\
b \approx 3,69552}\)

\(\displaystyle{ a \cdot b=1,530732 \cdot 3,69552 \approx 5,656851}\)

choć pewnie tak dokładne przybliżenie nie jest potrzebne...

[Crizz]

Niczego nie trzeba przybliżać.

Okrąg opisany na prostokącie ma promień długości połowy przekątnej.

Niech ABCD będzie rozważanym prostokątem, niech S będzie punktem przecięcia przekątnych i niech ASB będzie kątem ostrym między przekątnymi.

Wiemy, że \(\displaystyle{ |\sphericalangle ASB| =45^{o}}\), zatem \(\displaystyle{ \frac{|\sphericalangle ASB|}{2}=22,5^{o}}\). Trójkąt ASB jest równoramienny; podzielmy ten trójkąt wysokością \(\displaystyle{ SH}\) na dwa trójkąty prostokątne, wówczas:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}|BC|=|SH|=|AS|cos22,5^{o}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}|AB|=|AH|=|AS|sin22,5^{o}}\)

\(\displaystyle{ |BC|=2|AS|cos22,5^{o}}\)
\(\displaystyle{ |AB|=2|AS|sin22,5^{o}}\)
\(\displaystyle{ |AS|=r}\)

\(\displaystyle{ S=|AB||BC|=4|AS|^{2}sin22,5^{o}cos22,5^{o}=2|AS|^{2}sin45^{o}=|AS|^{2}\sqrt{2}}\)
(na mocy wzoru \(\displaystyle{ 2sin\alpha cos\alpha=sin2\alpha}\))

\(\displaystyle{ S=r^{2}\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ S=2^{2} \sqrt{2}=4\sqrt{2}}\)

[19marxs]

dzięki za pomoc.

[Sherlock]

Wersja light
Tw. cosinusów:
\(\displaystyle{ a^2=2^2+2^2-2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot cos45^0}\)
\(\displaystyle{ b^2=2^2+2^2-2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot cos(90^0+45^0)}\)