planimetria -zadania maturalne

[asia3101]

zad 1
W równoległoboku ABCD, gdzie A=(-5,-3), B=(5,-8), c=(9,-1), D=(-1,4), punkt M dzieli bok CD w stosunku 4:1 licząc od C, zaś punkt L dzieli przekątną BD w stosunku 5:1 licząc od B. Udowodnij, że punkty A,M,L są współliniowe.

zad 2
Z trójkątnej tafli szkła wycięto prostokątną szybę o największym polu powierzchni. Wysokość trójkąta to 6,4 dm a długość najdłuższego boku (na który pada ta wysokość) to 8 dm. Jakie wymiary ma ta szyba?

prosze o pomoc

[Pancernik]

Stosunek odległości od C do D, 4:1.
\(\displaystyle{ x_c-x_m = 4\left( x_m-x_d\right) \\
x_c-x_m =4x_m-4x_d\\
9-x_m =4x_m+4\\
x_m=1\\
y_c-y_m = 4\left( y_m-y_d\right)\\
-1-y_m =4y_m-16\\
y_m=3\\
M= \left( 1, 3\right)}\)

Stosunek odległości od B do D, 5:1.
\(\displaystyle{ x_b-x_l = 5\left( x_l-x_d\right) \\
5-x_l =5x_l+5\\
x_l=0\\
y_b-y_l = 5\left( y_l-y_d\right)\\
-8-y_l =5y_l-20\\
y_l=2\\
L= \left( 0, 2\right)}\)

Funkcja liniowa z punktami A, M
\(\displaystyle{ \begin{cases} -3=-5a+b \\ 3=a+b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ b=2 \end{cases}\\
f \left( x\right)=x+2}\)

Teraz sprawdzamy czy punk L leży na tej prostej:
\(\displaystyle{ f \left( x\right)=x+2\\
x=0\\
f \left( x\right)=0+2\\
f \left( x\right)=2\\
L= \left(0, 2 \right)}\)

Obp.: Punkty A, L, M są współliniowe.