pole rombu i sin kąta ostrego

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
celia11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 725
Rejestracja: 1 lut 2009, o 19:56
Płeć: Kobieta
Podziękował: 238 razy

pole rombu i sin kąta ostrego

Post autor: celia11 »

proszę o pomoc w rozwiązaniu:

Bok rombu ma długość 13, suma długości przekątnych jest równa 34.

a) Wyznacz pole rombu.
b) Wyznacz sinus kąta ostrego rombu.

dziekuję
Ostatnio zmieniony 12 lut 2010, o 11:35 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

pole rombu i sin kąta ostrego

Post autor: lukasz1804 »

Niech \(\displaystyle{ b,c}\) oznaczają długości przekątnych, \(\displaystyle{ b<c}\), a \(\displaystyle{ \alpha}\) miarę kąta ostrego rombu.

a) Z założenia mamy \(\displaystyle{ b+c=34}\). Z twierdzenia kosinusów dostajemy także \(\displaystyle{ b^2=13^2+13^2-2\cdot 13\cdot 13\cdot\cos\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ c^2=13^2+13^2-2\cdot 13\cdot 13\cdot\cos(\pi-\alpha)}\). Korzystając ze wzoru redukcyjnego i dodając dwie ostatnie równości stronami dostajemy \(\displaystyle{ b^2+c^2=4\cdot 13^2=26^2}\). Ponieważ \(\displaystyle{ b+c=34}\), to z powyższego mamy \(\displaystyle{ 34^2=(b+c)^2=b^2+2bc+c^2=26^2+2bc}\), skąd \(\displaystyle{ bc=\frac{1}{2}(34^2-26^2)=240}\). Ze wzoru na pole rombu jest zatem \(\displaystyle{ P=\frac{bc}{2}=120}\).

b) Z powyższego stosując inny wzór na pole rombu otrzymujemy \(\displaystyle{ P=13\cdot 13\sin\alpha}\), więc \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{P}{13^2}=\frac{120}{169}}\).
ODPOWIEDZ