w romb o boku dł a i kącie 60 st wpisano okrąg oblicz pole

[buggi]

w romb o boku dł a i kącie 60 st wpisano okrąg oblicz pole prostokąta którego wierzchołkami są punkty styczności okręgu z bokami rombu

[wujomaro]

Ten prostokąt to kwadrat o przekątnej 2r.
\(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}asin \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{4}a}\)
\(\displaystyle{ d= \frac{ \sqrt{3} }{2}a}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{d ^{2} }{2}= \frac{ \frac{3}{4} }{2}a= \frac{3}{8}a=0,375a}\)
Pozdrawiam.

[buggi]

no chyna nie koniecznie bo zrobiłem dokładny rysunek i ten prostokąt nie przypomina kwadratu

[wujomaro]

A więc przedstaw ten rysunek.

[buggi]

maciej1997,

AU

35jgqb5.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 504 razy

w odpowiedziach wynik to:
\(\displaystyle{ P = \frac{3\sqrt{3}a^{2}}{16}}\)-- 11 lutego 2010, 10:43 --i macie jakieś pomysły??

[wujomaro]

Zauważ, że przekątna prostokąta to 2r. Po lewej na dole i po prawej na górze są trójkąty równoboczne. Przekątna z kąta 120 dzieli romb na dwa trójkąty równoboczne. Możemy wywnioskować,że kąt ostry między przekątnymi ma \(\displaystyle{ 60^{o}}\). Pole liczymy ze wzoru:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}d ^{2}sin \alpha = \frac{ \left(2r \right) ^{2} }{2} \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2}}\).
\(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}asin \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{4}a}\)
Po wyliczeniu powinno wyjść
\(\displaystyle{ P= \frac{3 \sqrt{3}a ^{2} }{16}}\)
Chyba, że pomyliłem się w liczeniu, więc sprawdź to jeszcze sam.
Pozdrawiam.

[buggi]

ok

[wujomaro]

2r=h
h jest pod kątn prostym
Przekątna ma długość a, więc jest tam trójkąt równoboczny(nie wierzysz? sprawdź na wzorze \(\displaystyle{ 2asin \frac{ \alpha }{2}}\)). Przekątna to h. Od 90 stopni odejmujemy 60 imamy 30.(zobacz to sobie na dole). W prostokącie wszystkie kąty mają 90. 90-30=60. Robisz to samo z drugiej strony i też masz kat 60, więc kąt przecięcia się przekątnych ma 60. bo 180-(60+60)=60.
Pozdrawiam.
PS A tak na marginesie piszemy skąd, a nie z kąd.

[buggi]

dzieki wielkie za pomoc

-- 11 lutego 2010, 11:29 --

a jeszcze jedna sprawa nie wiem z jakiego wzoru wyliczyłeś r


już po teacie sam doszedłem


jeszcze raz dzięki
pozdrawiam

[wujomaro]

Żeby nie było wątpliwości:
\(\displaystyle{ r= \frac{1}{2}asin \alpha}\)
Pozdrawiam.

[arl3nu]

Ja to robilem tak ze stworzyłem sobie 4 trójkąty. I pole licze z \(\displaystyle{ (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} a)^{2} \cdot sin120+\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2} a)^{2} \cdot sin60) \cdot 2}\) I coś mi to nie wychodzi ;