Dwusieczna kąta

[xXMadzia05Xx]

Byłam dziś na konkursie z matematyki eta rejonowy i jedno zadanie było po prostu tak trudne, że to masakra.
Treść: Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b. Wyznaczamy dwusieczna z wierzchołka kąta prostego. Udowodnij, że dwusieczna ma długość \(\displaystyle{ \frac{a \cdot b \cdot \sqrt{2} }{a + b}}\)

[tometomek91]

Dwusieczna (niech nazywa się e) dzieli trójkąt na dwa inne. Policzmy pole pierwszego z nich:
\(\displaystyle{ P_{1}=\frac{1}{2}ae \sin45}\)
I drugiego:
\(\displaystyle{ P_{2}=\frac{1}{2}be \sin45}\)
Pole całego trójkąta to;
\(\displaystyle{ P=\frac{ab}{2}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ P_{1}+P_{2}=P\\
\frac{1}{2}ae \sin45+\frac{1}{2}be \sin45=\frac{ab}{2}\\
\frac{\sqrt{2}e}{2}(a+b)=ab\\
e=\frac{\sqrt{2}ab}{a+b}}\)
c.n.d.

[xXMadzia05Xx]

no ale nie wiem, cos mi pod koniec nie pasuje
skoro jest tam ułamek z 2 w mianowniku to co potem nagle się z nią stało?

[tometomek91]

Nie rozumiem... wszystko jest ok. W ostatniej linijce usuń niewymierność.

[xXMadzia05Xx]

aha, dzięki -- 12 lut 2010, o 19:10 --A jeszcze mam jedna uwagę:
aby obliczyć z sinusów musi byś trójkat prostokątny, a przecież żaden z tych dwóch trójkątów nie jest prostokątny.
No chyba, że istnieje jakiś wzór na trójkąt nieprostokątny z sinusami. A więc jak to jest?

[chlorofil]

Wystarczy narysować wysokość w trójkącie i skorzystać z definicji funkcji sinus w trójkącie prostokątnym. Dostaniesz wtedy wzór:

\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} ah}\)

\(\displaystyle{ \frac{h}{b} = sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ h = bsin \alpha}\)

\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} absin \alpha}\)