W kąt o mierze 2 \(\displaystyle{ \alpha}\) wpisano dwa koła styczne zewnętrznie. Oblicz stosunek pól tych kół w zależności od \(\displaystyle{ \alpha}\).
Nie moge rozgryźć tego zadania.
Z góry dzięki za pomoc
Koła wpisane w kąt
-
tometomek91
- Użytkownik
- Posty: 2959
- Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 281 razy
- Pomógł: 498 razy
Koła wpisane w kąt
Niech odległość między wierzchołkiem kąta a środkiem mniejszego okręgu o promieniu r, nazywa się x. Wtedy odległość środka większego okręgu, o promieniu R, od wierzchołka kąta wynosi x+r+R. Rozważmy trójkąt prostokątny, jaki tworzy promień mniejszego okręgu z jednym z ramion kąta i jego dwusieczną (długości x). Z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{x}{sin90}=\frac{r}{sin \alpha} \Rightarrow x=\frac{r}{sin \alpha}}\)
Oraz z twierdzenia Talesa:
\(\displaystyle{ \frac{r}{x}=\frac{R}{x+r+R} \Rightarrow R=\frac{r^{2}+rx}{x-r}}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ x=\frac{r}{sin \alpha}}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ R=\frac{r(sin\alpha+1)}{1-sin\alpha}}\)
Stosunek k pól kól:
\(\displaystyle{ k=\frac{\pi R^{2}}{\pi r^{2}}=\left ( \frac{sin\alpha+1}{1-sin\alpha} \right )^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{x}{sin90}=\frac{r}{sin \alpha} \Rightarrow x=\frac{r}{sin \alpha}}\)
Oraz z twierdzenia Talesa:
\(\displaystyle{ \frac{r}{x}=\frac{R}{x+r+R} \Rightarrow R=\frac{r^{2}+rx}{x-r}}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ x=\frac{r}{sin \alpha}}\), otrzymujemy:
\(\displaystyle{ R=\frac{r(sin\alpha+1)}{1-sin\alpha}}\)
Stosunek k pól kól:
\(\displaystyle{ k=\frac{\pi R^{2}}{\pi r^{2}}=\left ( \frac{sin\alpha+1}{1-sin\alpha} \right )^{2}}\)