Pole i miary kątów w trójkącie.

[ele]

1) W okrąg wpisano trójkąt ABC, taki że \(\displaystyle{ BAC= 50 i ABC=70}\). Przez wierzchołek C poprowadzono styczną do okręgu przecinającą przedłużenie boku AB w punkcie D. Oblicz miary kątów trójkąta BCD.

2)Obwód trójkąta równoramiennego jest równy 250. Wiedząc, że ramię tworzy z podstawą taki kąt \(\displaystyle{ L}\), że \(\displaystyle{ tg L= \frac{5}{12}}\), oblicz pole trójkąta.

[rsasquatch]

1)O-środek okręgu
\(\displaystyle{ \sphericalangle BCA=180-70-50=60}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle CBD=180-70=110}\)
Z tw. o kącie środkowym opartym na tym samym łuku mamy \(\displaystyle{ \sphericalangle BOC=2*50=100}\)
Z tego, że \(\displaystyle{ BOC}\) równoramienny \(\displaystyle{ \sphericalangle OCB= \frac{180-100}{2}=40}\)
Z tego, że prosta przechodząca przez C i D jest styczna do okręgu w punkcie C to tworzy kąt prosty z promieniem (OC)
to \(\displaystyle{ \sphericalangle BCD=90-40=50}\)
i ostatni kąt \(\displaystyle{ \sphericalangle BDC=180-110-50=20}\)
2)
\(\displaystyle{ a+2b=250}\)
\(\displaystyle{ tgL= \frac{5}{12} = \frac{h}{ \frac{a}{2} } \Rightarrow h= \frac{5a}{24}}\)
\(\displaystyle{ b^2= \frac{a^2}{4} +h^2 \Rightarrow b^2= \frac{a^2}{4} \cdot ( \frac{25}{144}+1) \Rightarrowb= \frac{13a}{24}}\)
\(\displaystyle{ a+2 \cdot\frac{13a}{24}=250 \Rightarrowa=120}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{5 \cdot 120}{24} =25}\)
\(\displaystyle{ P=a \cdot h \cdot \frac{1}{2}=25 \cdot 120 \cdot \frac{1}{2}=1500}\)