proszę o pomoc w rozwiązaniu:
W trójkacie prostokątnym stosunek kwadratu długości przeciwprostokątnej do kwadratu długości jednej z przyprostokątnej wynosi 3. Oblicz wartość wyrażenia \(\displaystyle{ sin \alpha +sin \beta}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) to kąty ostre trójkąta prostokątnego.
dziękuję
wartość wyrażenia sinA+sinB
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
wartość wyrażenia sinA+sinB
Niech trójkąt ma boki oznaczone a, b, c, niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie kątem między b i c i niech c będzie przeciwprostokątną. Mamy:
\(\displaystyle{ \frac{c^{2}}{a^{2}}=3}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{c^{2}}=\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{c}= \frac{\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\sqrt{1-sin^{2}\alpha}= \frac{\sqrt{6}}{3}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=cos(90^{o}-\beta)=sin\beta}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha+sin\beta= \frac{\sqrt{6}}{3}+ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{c^{2}}{a^{2}}=3}\)
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{c^{2}}=\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{c}= \frac{\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=\sqrt{1-sin^{2}\alpha}= \frac{\sqrt{6}}{3}}\)
\(\displaystyle{ cos\alpha=cos(90^{o}-\beta)=sin\beta}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha+sin\beta= \frac{\sqrt{6}}{3}+ \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{3}}\)