cztery trójkąty w trapezie

[askas]

Pole trapezu jest równe S, a stosunek długości jego podstaw wynosi k. Przekątne dzielą trapez ma cztery trórkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

[JankoS]

Będę się starał przedstawić pola \(\displaystyle{ P_2,P_3, P_4}\) poprzez pole \(\displaystyle{ P_1}\) i skorzystam z faktu, że ich suma wyosi S.
Niech \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=k}\). Z podobieństwa trójkątów dolnego i górnego \(\displaystyle{ x=ky \ i \ z=kw}\). Stąd i ze wzoru na pole trójkąta oraz wzoru redukcyjnego.
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2P_1=xzsin\alpha \\ 2P_2=yzsin\beta\end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2P_1=kyzsin\alpha \\ 2P_2=yzsin\alpha \end{cases} \Rightarrow \frac{2P_1}{kysin\alpha}= \frac{2P_2}{ysin\alpha} \Rightarrow P_2=\frac{P_1}{k}}\).
Chyba podobnie, ale polecam to sprawdzić, \(\displaystyle{ P_4=\frac{P_1}{k}}\).
\(\displaystyle{ \frac{P_1}{P_3} =k^2 \Rightarrow P_3= \frac{P_1}{k^2}}\).
\(\displaystyle{ P_1+P_2+P_3+P_4=S \Rightarrow ...}\)