Pole obszaru

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
ruben1991
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 15 paź 2009, o 19:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 1 raz

Pole obszaru

Post autor: ruben1991 »

Witam mam takie zadanie:
Oblicz pole obszaru zawartego między dwoma okręgami wzajemnie stycznymi zewnętrznie o promieniach 1 i 3 oraz ich wspólną zewnętrzną styczną
Oto obrazek do zadania:
Należy wyliczyć to ciemnoniebieskie pole.
Nie za bardzo wiem jak się za to zabrać, ponieważ cokolwiek chce zrobić, brakuje mi danych.
Leeq3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 10 kwie 2007, o 11:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gorzów Wlkp.
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 9 razy

Pole obszaru

Post autor: Leeq3 »

Obrazek się nie zmieści, więc będzie sam link:

Co się dzieje:
Narysowane są promienie obu okręgów. Widać, że padają pod kątem prostym do stycznej, oraz w innym miejscu tworzą jeden odcinek o długości 4 (3+1). Można teraz poprowadzić odcinek ze środka mniejszego okręgu, prostopadle do promienia większego okręgu (odcinek x). Dzieli on nam początkowy trapez na prostokąt i trójkąt prostokątny. W trójkącie mamy dane 2 boki, więc x można łatwo wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa:
\(\displaystyle{ x = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = \sqrt{12}= 2 \sqrt{3}}\)
Dzięki temu możemy policzyć pole trapezu (prostokątnego) jaki nam się utworzył na początku, bo x jest wysokością tego trapezu.
\(\displaystyle{ P _{trapez} = \frac{1+3}{2}* 2 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}}\)
Teraz wystarczy od tego pola odjąć pola wycinków obu kół. Żeby policzyć te pola, musimy mieć kąty \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\)(zaznaczone na rysunku w prymitywny sposób).
Można je policzyć z trójkąta który mamy. Podstawimy dane pod funkcję trygonometryczną.
\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{2 \sqrt{3}}{2} = \sqrt {3}}\)
Szukamy w tablicy wartości tangensa, jaki kąt ma wartość \(\displaystyle{ \sqrt {3}}\). Jest to 60 stopni.
Z tego od razu widać że \(\displaystyle{ \beta}\) ma 30 stopni. Zatem kąt między zaznaczonymi promieniami w małym okręgu ma 90 + 30 stopni, czyli 120.
Liczymy pola wycinków:
\(\displaystyle{ P_{maly} = 120 \frac{\pi * 1^{2}}{360} = \frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle{ P_{duzy} = 60 \frac{\pi * 3^{2}}{360} = \frac {3 \pi}{2}}\)

Pole czerwonego obszaru:
\(\displaystyle{ P = P _{trapez} - P_{maly} - P_{duzy} = 4 \sqrt{3} - \frac{11 \pi}{6} \approx 1,1686}\)
ODPOWIEDZ