Równanie prostej stycznej do paraboli

[Alibrandi]

Witam:)
Chciałabym bardzo prosić o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania:

Wyznacz równanie prostej stycznej do paraboli \(\displaystyle{ x=2 y^{2}}\) i równoległej do prostej x=y.

[tometomek91]

Szukana prosta ma być równoległa do prostej y=x, a więc jej wzór będzie postaci: x=y+b. Prosta ta ma być styczna do paraboli \(\displaystyle{ x=2y^{2}}\). Liczymy jej pochodną:
\(\displaystyle{ f'(y_{0})=4y_{0}}\)
Równanie stycznej do wykresu w punkcie (\(\displaystyle{ y_{0};f(y_{0})}\)):
\(\displaystyle{ x-f(y_{0})=f'(y_{0})(y-y_{0})}\)
Podstawiamy do wzoru:
\(\displaystyle{ x-2y_{0}^{2}=4y_{0}(y-y_{0})\\
x=-2y_{0}^{2}+4y_{0}y}\)
Stąd \(\displaystyle{ y_{0}=\frac{1}{4}}\), a więc:
\(\displaystyle{ x=y-\frac{1}{8}}\)

PS: Zły dział.

[JankoS]

Można tak:
Szukana prosta jest równoległa do danej, więc ma równanie x = y + b. Jest ona styczna do paraboli. Wartość b wyznaczamy tak, aby układ \(\displaystyle{ \begin{cases} x=y+b \\ x=2 y^{2} \end{cases}}\) miał jedno rozwiązanie.

[MatizMac]

i możesz napisać dalej jak to zrobić, żeby miał jedno rozw. ?

[JankoS]

Z równosci lewych stron wynika równość stron prawych \(\displaystyle{ y+b=2y^2 \Leftrightarrow 2y^2-y-b=0; \ \Delta=1+8b=0 \Leftrightarrow b=- \frac{1}{8}}\). Styczna ma postać \(\displaystyle{ x = y- \frac{1}{8}}\).

[MatizMac]

aha. dzięki.
//tylko tam błędzik w pierwszych dwóch równościach - zamiast x powinno być y

[JankoS]

Ano tak. Dziękuję. Już poprawiam.

[Alibrandi]

Dziękuje bardzo za pomoc:)