Kąty i boki w trójkącie

[max04]

Witam,
mam zadanie, którego nie mogę zrobić do końca:
Miara największego kąta w trójkącie jest 2 razy większa od miary jego najmniejszego kąta.
Obliczyć dł boków tego trójkąta jeżeli są one kolejnymi liczbami naturalnymi.

I tak:
kolejne liczby naturalne oznaczyłem jako: n, n+1, n+2;
naprzeciw największego kąta leży najdłuższy bok i podobnie naprzeciw najmniejszego najkrótszy
\(\displaystyle{ \alpha : n; 2\alpha : n+2; 180-3\alpha : n+1}\), skorzystałem z tw. sinusów biorąc pod uwagę najdłuższy i najkrótszy bok, wyszło mi, że: \(\displaystyle{ n = \frac{2}{2cos\alpha - 1}}\) i nie wiem co dalej zrobić, próbowałem skorzystać z tw. cosinusów, ale nic konkretnego nie uzyskałem, inaczej mówiąc nie wiem jak wyznaczyć \(\displaystyle{ cos\alpha}\)

Dziękuję za wszelką pomoc

[florek177]

Z tego co policzyłeś wyznacz \(\displaystyle{ cos(\alpha) \,\,\,}\) i podstaw do tw. cosinusów:

\(\displaystyle{ n^{2} = ( n + 1 )^{2} + ( n + 2 )^2 - 2 \cdot (n + 1 ) ( n + 2 ) \cdot cos(\alpha )}\);

policz n --> n = 4.