Uzasadnij wzór na pole trójkąta P=1/2r(a+b+c)

Robbiex · Post autor: **Robbiex** » 24 sty 2010, o 12:31

Potrafiłby to ktoś dowieść, albo ma ktoś może link do dowodu?

Uzasadnij wzór na pole trójkąta \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} r \cdot (a+b+c)}\) gdzie r to długość promienia okręgu wpisanego w trójkat ABC, natomiast a, b i c to długości boków trójkąta.

Z góry wielkie, wielkie dzięki!

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 24 sty 2010, o 13:14

Rysunek - pole największego trójkąta to suma pól trzech mniejszych.

Elminster · Post autor: **Elminster** » 24 sty 2010, o 13:18

Narysuj trójkąt ABC, oznacz jako O środek okręgu wpisanego. Poprowadź promienie prostopadłe do każdego z boków, oraz odcinki OA,OB,OC. Zauważ, że cały trójkąt ABC, złożony jest z trójkątów: AOB, AOC, BOC. Zatem:

\(\displaystyle{ S _{ABC} = S _{AOC} +S _{BOC} +S _{AOB} = \frac{1}{2}*|AC|*r +\frac{1}{2}*|BC|*r +\frac{1}{2}*|AB|*r = \frac{1}{2}(|AB|+|AC|+|BC|)*r}\)