Oblicz promień okręgu wpisanego

[Lbubsazob]

Miara kąta między ramionami trójkąta równoramiennego o polu P jest równa \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

[piasek101]

2a; b - podstawa , ramię

\(\displaystyle{ P=0,5b^2 sin\alpha}\) oraz \(\displaystyle{ sin(0,5\alpha) = \frac{a}{b}}\)

[Lbubsazob]

A jak zamienić \(\displaystyle{ sin \frac{1}{2} \alpha}\) na \(\displaystyle{ sin \alpha}\)?

[piasek101]

A po co ? W tym zadaniu to nie jest konieczne..

[Lbubsazob]

Najpierw zapisuję równania:
\(\displaystyle{ P= \frac{b ^{2}sin \alpha }{2}}\)
\(\displaystyle{ P=(a+b)*r}\)

Wyliczam a z zależności \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=sin \frac{1}{2} \alpha}\), więc \(\displaystyle{ a=bsin \frac{1}{2} \alpha}\), potem podstawiam to do wzoru na pole.
Po skróceniu zostaje mi \(\displaystyle{ b ^{2}sin \alpha =2r*b*sin \frac{1}{2} \alpha +2br}\)
Za dużo tu niewiadomych, więc nie mam pojęcia co z tym dalej zroić ;(

[piasek101]

Coś bardzo kombinujesz.
Z pierwszego (mojego) masz (b).
Wstawiasz do drugiego (też mojego) i masz (a).

Mając wszystkie boki wyznaczasz promień.

[tryptofan91]

piasek101 - mam pytanie do Ciebie, mianowicie skąd "wziąłeś" wzór: \(\displaystyle{ sin(0,5\alpha) = \frac{a}{b}}\) ?? To jest wzór po jakimś przekształceniu tego pierwszego ?

b - z tego pierwszego - wyznaczyłem \(\displaystyle{ b= \sqrt{ \frac{P}{ \frac{1}{2}sin \alpha } }}\)

a - z drugiego - \(\displaystyle{ sin \frac{1}{2} \alpha = \frac{a}{b} \Rightarrow sin \frac{1}{2} \alpha * \sqrt{ \frac{P}{ \frac{1}{2}sin \alpha } } = a \Rightarrow \frac{ \sqrt{P} }{sin \frac{1}{2} \alpha }=a}\) z trygonometrii, leże i nie wiem czy to jest dobrze, proszę o odpowiedź.

[piasek101]

piasek101 - mam pytanie do Ciebie, mianowicie skąd "wziąłeś" wzór: \(\displaystyle{ sin(0,5\alpha) = \frac{a}{b}}\) ?? To jest wzór po jakimś przekształceniu tego pierwszego ?

Po prostu funkcja trygonometryczna wzięta z trójkąta - patrz oznaczenia z mojego pierwszego posta.