Bardzo trudne zadanie

[mol_ksiazkowy]

Dany jest czworokąt ABCD, w którym AB+BC=AD+DC. Proste, na których leżą jego przeciwległe boki, przecinają się w punktach: B1 i D1. Wykazać, że AB1+B1C=AD1+D1C

[TomciO]

Odrobine zmienie oznaczenia i przyjme takie jak na rysunku (\(\displaystyle{ L, K}\) - punkty przeciecia bokow, \(\displaystyle{ X, Y, Z , T}\) punkty stycznosci.

Pokazemy, ze warunek \(\displaystyle{ |AB|+|BC|=|AD|+|DC|}\) rownowazny jest temu, iz istnieje okrag dopisany do przedluzen bokow czworokata ABCD.
Udowodnijmy najpierw, ze jest to warunek konieczny. Istotnie, mamy:
\(\displaystyle{ |AX|=|AT|}\)
czyli
\(\displaystyle{ |AB|+|BX|=|AD|+|DT|}\)
a wiec
\(\displaystyle{ |AB|+|BZ|=|AD|+|DY|}\)
lub tez
\(\displaystyle{ |AB|+|BC|+|CZ|=|AD|+|DC|+|CY|}\)
ale \(\displaystyle{ |CZ|=|CY|}\) skad \(\displaystyle{ |AB|+|BC|=|AD|+|DC|}\)

Pokazmy teraz, iz jest to rowniez warunek wystarczajacy. Istotnie, zalozmy ze jest \(\displaystyle{ |AB|+|BC|=|CD|+|DA|}\), ale okrag styczny do przedluzen bokow powiedzmy \(\displaystyle{ AB, BC, DC}\) nie jest styczny do przedluzenia boku \(\displaystyle{ AD}\). Obierzmy wiec taki punkt \(\displaystyle{ D'}\) na boku \(\displaystyle{ DC}\), ze owy okrag jest tez styczny do prostej \(\displaystyle{ AD'}\). Wtedy, z tego co przed chwila udowodnilismy, mamy: \(\displaystyle{ |AB|+|BC|=|AD'|+|D'C|}\). Biorac pod uwage nasza wyjsciowa rownosc mamy w takim razie: \(\displaystyle{ |AD'|+|D'C|=|AD|+|DC|}\), ale poniewaz, \(\displaystyle{ |DC|-|D'C|=|AD'|}\) to musielibysmy miec \(\displaystyle{ |AD|=0}\) a to jest niemozliwe. Sprzecznosc, ktora konczy dowod.

Ok, majac powyzsze mozemy przystapic do rozwiazywania zadania. Z warunku danego w zadaniu wynika wiec, ze istnieje okrag dopisany do przedluzen bokow czworokata \(\displaystyle{ ABCD}\). Zgodnie z przyjetymi oznaczeniami, chcemy udowodnic, ze \(\displaystyle{ |AL|+|LC|=|AK|+|KC|}\). Ale: \(\displaystyle{ |LC|=|LY|+|CY|=|LX|+|CY|}\). Jest tez: \(\displaystyle{ |KC|=|KZ|+|ZC|=|KT|+|CY|}\). Dlatego rownosc, ktora mamy dowiesc rownowazna jest rownosci:
\(\displaystyle{ |AL|+|LX|+|CY|=|AK|+|KC|+|CY|}\) ale to jest to samo co \(\displaystyle{ |AT|=|AX|}\), a to jest oczywiste.

[dem]

mol_ksiazkowy masz już 7xx postów a dalej zakładasz tematy które nic nie mówią nastepnym razem przeniose do kosza.