Witam! Mam niemały problem z tym oto zadaniem:
Na rysunku pokazany jest fragment domku jednorodzinnego. Pewnego słonecznego dnia w południe promienie słoneczne padały pod kątem do poziomu. Oblicz długość okapu dachu (części dachu wystającej poza ścianę budynku) wiedząc, że szerokość zacienionego pasa ziemi wzdłuż ściany budynku była równa. Pozostałe dane zamieszczono na rysunku.
Obliczyłem "y" za pomocą sinusa 45 (ale można też poprzez przekątną kwadratu). Wyszło \(\displaystyle{ 7\sqrt{2}}\)
Następnie z Pitagorasa obliczyłem "z", a tym samym "n". "z" = 7, tym samym "n" = 4. Wychodzi na to, że trójkąt z bokami "y", "z" i 7 to trójkąt równoramienny, ale nie wiem czy ta informacja może się przydać.
W tym momencie tknąłem, bo ni mam pojęcia jak obliczyć "x". próbowałem Talesami, innymi twierdzeniami itp., ale nie chce wyjść.
Wynik w książce wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) + \(\displaystyle{ 2\sqrt{6}}\) = ok. 6,3m. Wychodzi na to, że ten "x" trzeba jakoś podzielić na trójkąty, ale nic mi nie chciało wyjść. Prawdopodobnie obliczenie, które mi brakuje, ma coś wspólnego z kątem 60, ponieważ jeszcze nie wykorzystałem tej informacji z zadania.
P.S. Kiedyś na Waszym forum było pytanie o zadanie, jednak w temacie zawarte były jedynie wskazówki. A nawet wedle nich nie chciał mi wyjść dobry wynik, poza tym mam wymóg, że zadanie muszę zrobić wykorzystując wiedzę z poziomu podstawowego.
P.S. Proszę nie zarzucać mi lenistwa, gdyż nad zadaniem spędziłem niemalże 2,5 godziny. Niestety, najwyraźniej mnie przerasta. Muszę je mieć na wtorkowy wieczór. Byłbym bardzo wdzięczny za wszelką pomoc!-- 19 sty 2010, o 18:27 --Odświeżam, naprawdę przydałaby mi się jakaś pomoc...
Oblicz długość okapu dachu...
Oblicz długość okapu dachu...
Oczywiście zadanie można łatwo obliczyć np. z tw. sinusów, ale może niektórzy wolą metodę przeznaczoną dla poziomu podstawowego. Jednostki pomijamy.
Oznaczmy wierzchołki trójkąta o bokach \(\displaystyle{ z,7,y}\) literami \(\displaystyle{ A,B,C}\) gdzie \(\displaystyle{ A}\) oznacza wierzchołek "przy ramionach" \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ y}\) a \(\displaystyle{ B}\) przy ramionach \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ 7}\). Oczywiście Kąty \(\displaystyle{ BAC}\) i \(\displaystyle{ ACB}\) mają miary \(\displaystyle{ 45}\), dlatego \(\displaystyle{ y=7\sqrt2}\). Dorysujmy teraz do "małego trójkąta" z danym kątem \(\displaystyle{ 60}\) wysokość opadającą na bok \(\displaystyle{ z-3}\) i oznaczmy ją \(\displaystyle{ h}\). Działamy na małym trójkącie: \(\displaystyle{ sin 45= \frac{h}{7\sqrt2-x}}\). Wyliczamy \(\displaystyle{ h=\frac{14-\sqrt2x}{2}}\). Nazwijmy odcinek między spodkiem wysokości \(\displaystyle{ h}\) a bokiem tworzącym z bokiem \(\displaystyle{ z-3}\) kąt \(\displaystyle{ 60}\) literą \(\displaystyle{ k}\). Obliczamy \(\displaystyle{ tg60=\frac{h}{k}}\) wtedy \(\displaystyle{ k=\frac{h\sqrt3}{3}}\). Teraz obliczamy \(\displaystyle{ tg45=\frac{h}{4-\frac{h\sqrt3}{3}}}\) więc \(\displaystyle{ h=\frac{12}{\sqrt3+3}}\).
Przyrównujemy do siebie \(\displaystyle{ \frac{14-\sqrt2x}{2}=\frac{12}{\sqrt3+3}}\). Otrzymujemy w końcu \(\displaystyle{ x=\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}\)
Przepraszam za pogmatwanie w opisie, ale nie chciałem tworzyć nowego rysunku. Pozdrawiam.
Oznaczmy wierzchołki trójkąta o bokach \(\displaystyle{ z,7,y}\) literami \(\displaystyle{ A,B,C}\) gdzie \(\displaystyle{ A}\) oznacza wierzchołek "przy ramionach" \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ y}\) a \(\displaystyle{ B}\) przy ramionach \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ 7}\). Oczywiście Kąty \(\displaystyle{ BAC}\) i \(\displaystyle{ ACB}\) mają miary \(\displaystyle{ 45}\), dlatego \(\displaystyle{ y=7\sqrt2}\). Dorysujmy teraz do "małego trójkąta" z danym kątem \(\displaystyle{ 60}\) wysokość opadającą na bok \(\displaystyle{ z-3}\) i oznaczmy ją \(\displaystyle{ h}\). Działamy na małym trójkącie: \(\displaystyle{ sin 45= \frac{h}{7\sqrt2-x}}\). Wyliczamy \(\displaystyle{ h=\frac{14-\sqrt2x}{2}}\). Nazwijmy odcinek między spodkiem wysokości \(\displaystyle{ h}\) a bokiem tworzącym z bokiem \(\displaystyle{ z-3}\) kąt \(\displaystyle{ 60}\) literą \(\displaystyle{ k}\). Obliczamy \(\displaystyle{ tg60=\frac{h}{k}}\) wtedy \(\displaystyle{ k=\frac{h\sqrt3}{3}}\). Teraz obliczamy \(\displaystyle{ tg45=\frac{h}{4-\frac{h\sqrt3}{3}}}\) więc \(\displaystyle{ h=\frac{12}{\sqrt3+3}}\).
Przyrównujemy do siebie \(\displaystyle{ \frac{14-\sqrt2x}{2}=\frac{12}{\sqrt3+3}}\). Otrzymujemy w końcu \(\displaystyle{ x=\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}\)
Przepraszam za pogmatwanie w opisie, ale nie chciałem tworzyć nowego rysunku. Pozdrawiam.