pole trókąta po podziale

[sorcerer123]

W trójkącie ABC punkt D leży na boku BC a punkt E leży na boku AC w taki sposób, że \(\displaystyle{ \left| BD\right| = \frac{1}{3} \left|BC \right|}\) oraz\(\displaystyle{ \left| AE\right| = \frac{1}{3} \left|AC \right|}\).Odcinki AD i BE przecinają się w punkcie F. Oblicz jaki procent pola trójkąta ABC stanowi pole trójkąta ABF.

[florek177]

Oznaczenia: \(\displaystyle{ H \,\,\,}\) - wysokość trójkąta ABC; \(\displaystyle{ \,\,\, h \,\,\,}\) - wys. trójk. AEB; \(\displaystyle{ \,\,\, h_{a} \,\,\,}\) - wys. trójk. AFB. z proporcji mamy: \(\displaystyle{ \,\,\, h = \frac{1}{3} \, H}\);
Pole trapezu ABDE: \(\displaystyle{ \,\, \frac{1}{2} \, ( a + \frac{2}{3} \, a ) \, h = .... = \frac{5}{18} a \, H}\) ;

Ponadto, pole trapezu to : \(\displaystyle{ \,\, P_{\Delta \, ABF} + P_{\Delta \, EDF} + P_{\Delta \, AEF} + P_{\Delta \, BDF} \,\,\,}\) ; Ale : \(\displaystyle{ \,\,\, P_{\Delta \, AEF} = P_{\Delta \, BDF} = P_{1} \,\,\,}\) ;

Mamy więc: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \, a \, ( h - h_{a} ) + \frac{1}{2} \, a \, h_{a} + 2 \, P_{1} = \frac{5}{18} \, a \, H \,\,\,}\) ;

ale \(\displaystyle{ \,\,\, P_{1} = \frac{1}{2} \, a \, ( h - h_{a}) \,\,\,}\) --> podstawiamy wyżej i po przekształceniach mamy:

\(\displaystyle{ h_{a} = \frac{1}{5} \, H}\)