Okrąg

[baksio]

Witam mam problem w pewnym zadaniu:

Dwa przecinające się okregi mają promienie \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ r}\) \(\displaystyle{ (R>r)}\) a odległość środków tych okręgów wynosi \(\displaystyle{ a}\). Oblicz odległość wspólnej cięciwy od środka większego okręgu.

Z góry dzięki za pomoc.

[jasny]

narysuj sobie trójkąt wyznaczony przez odległość środków a oraz przez promienie okręgów (dwa wierzchołki w środkach okręgów, a trzeci na jedym końcu tej cięciwy). Skorzystaj w nim z twierdzenia cosinusów, wyznacz cosinus jednego z kątów trójkąta (o wierzchołku w środku okręgu). Teraz zaznacz wysokość trójkąta która zawiera się w tej cięciwie, otrzymasz trójkąt prostokątny. Określ stosunek odpowiednich boków jako cosinus tamtego kąta, i porównaj te cosinusy.

[baksio]

mam także problem z tym zadaniem:

Dane koło o promieniu \(\displaystyle{ R}\) podziel okręgiem współśrodkowym na dwie części o równych polach.

Z góry dzięki za pomoc.

[Plant]

Pole duzego koła wynosi \(\displaystyle{ \Pi R^2}\)
A tego w środku bedzie musiało wynosić \(\displaystyle{ \frac{\Pi R^2}{2}}\), niech jego promień równa się r.

\(\displaystyle{ \Pi r^2=\frac{\Pi R^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{R}{\sqrt{2}}}\)

Jako promień małego koła weź bok kwadratu, którego przekątna wynosi R.

[baksio]

dzięki wielkie.

Znalazłem jeszcze parę zadań których nie potrafiłem rozwiązać :

1. W kwadrat o boku długości \(\displaystyle{ a}\) wpisano koło, a następnie w to koło wpisano kwadrat, w kwadrat koło itd. Wykaż, że pola kolejnych kół tworzą ciąg geometryczny i oblicz jego sumę.

W tym zadaniu dochodze że tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ q=2}\) ale suma nie za bardzo mi wychodzi, gdyby \(\displaystyle{ |q|}\)

[mol_ksiazkowy]

ad4
ok, hmmm.
\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\)
tyle przekatnych ma n-kąt:

tj.
\(\displaystyle{ m+n=24}\)
\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2} + \frac{m(m-3)}{2}=117}\)
tj...,
\(\displaystyle{ n=15}\)
\(\displaystyle{ m=9}\)

[baksio]

Dwa zewnętrznie styczne okręgi są styczne do ramion kąta. Odległość ich środków od wierzchołka kąta wynosi odpowiednio 10 i 15. Oblicz długość promieni tych okręgów.

[jasny]

|SO1|=10, |SO2=15|, więc |O1O2|=5
r+R=5
r=5-R
i z podobieństwa: r/S01=R/SO2
r/10=R/15
3r=2R
15-3R=2R
R=3, r=2

[robert179]

2. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna równa \(\displaystyle{ c}\) jest podzielona przez wysokość w stosunku \(\displaystyle{ 1:3}\). Oblicz pole tego trójkąta.

Boki trójkąta oznaczam sobie jako a i b.
Z tw. Pitagorasa wynika, że \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2}}\), a z

przeciwprostokątna równa \(\displaystyle{ c}\) jest podzielona przez wysokość w stosunku \(\displaystyle{ 1:3}\).

:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}=\frac{1}{3}}\)(gdzie x i y to czesci na która została podzielona przeciwprostokątna. x+ y = c).

\(\displaystyle{ \frac{a}{x}=\frac{b}{y}}\) => \(\displaystyle{ xb=ay}\) => \(\displaystyle{ \frac{x}{y}b=a}\) => b=3a.

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ab=\frac{3}{2}a^{2}}\).

\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2}}\) = > \(\displaystyle{ c=2sqrt{2}a}\).
Podstawiając do wzoru otrzymujemy, że \(\displaystyle{ P=\frac{3}{16}c^{2}}\).

[baksio]

2. W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna równa \(\displaystyle{ c}\) jest podzielona przez wysokość w stosunku \(\displaystyle{ 1:3}\). Oblicz pole tego trójkąta.

Boki trójkąta oznaczam sobie jako a i b.
Z tw. Pitagorasa wynika, że \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2}}\), a z

przeciwprostokątna równa \(\displaystyle{ c}\) jest podzielona przez wysokość w stosunku \(\displaystyle{ 1:3}\).

:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}=\frac{1}{3}}\)(gdzie x i y to czesci na która została podzielona przeciwprostokątna. x+ y = c).

\(\displaystyle{ \frac{a}{x}=\frac{b}{y}}\) => \(\displaystyle{ xb=ay}\) => \(\displaystyle{ \frac{x}{y}b=a}\) => b=3a.

\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ab=\frac{3}{2}a^{2}}\).

\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2}}\) = > \(\displaystyle{ c=2sqrt{2}a}\).
Podstawiając do wzoru otrzymujemy, że \(\displaystyle{ P=\frac{3}{16}c^{2}}\).

Robert źle liczysz to zadanie ale dzięki temu doszedłem jak ma być dobrze.
Zobacz:
oznaczmy te boki na które podzieliła przeciwprostokątna na \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ 3x}\)
Czyli \(\displaystyle{ c=4x}\). Pozostałe boki trójkąta oznaczamy \(\displaystyle{ a,b}\) i wysokośc padająca na przeciwprostokątna jako \(\displaystyle{ h}\).
\(\displaystyle{ \frac{4x}{a}=\frac{a}{3x}}\) czyli \(\displaystyle{ a^2=12x^2}\)
\(\displaystyle{ a^2=(3x)^2+h^2}\) \(\displaystyle{ h^2=3x^2}\) czyli \(\displaystyle{ h=\sqrt{3} x}\).
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}c*h}\) \(\displaystyle{ P=\frac{\sqrt{3}c^2}{8}}\)