zadania z trapezami rownoramiennymi

[nuggle]

witam! niby proste ale jednak mam maly klopot.. jesli mozecie to prosilbym o szczegolowe rozwiazania bo chcialbym sobie przesledzic wszystko po kolei..

W trapezie rownoramiennym przekatna ma dlugosc d=10 cm i tworzy z dluzsza podstawa kat 30 stopni. przekatna trapezu jest jednoczesnie dwusieczna kata ostrego. oblicz:
-pole trapezu
-dlugosc promienia okregu opisanego na tym trapezie
-pola trojkatow na jakie przekatne podzielily ten trapez


W trapez rownoramienny ABCD o podstawach AB=16 DC=10 wpisano okrag. Oblicz:
-pole trapezu
-dlugosc odcinka łączącego środki ramion trapezu
-stosunek pola trójkąta DOC do pola trójkąta AOB, jeżeli O jest punktem przeciecia przekatnych trapezu.

[Calasilyar]

1)


mamy dane d i α; (na rys. mamy kąt z jedną kreską to α, a z dwiema 2α)
\(\displaystyle{ \frac{h}{d} = sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ h = dsin\alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{a+x}{d}=cos\alpha}\)
\(\displaystyle{ a+x=dcos\alpha}\)
b=a+2x
\(\displaystyle{ P=\frac{(a+b)h}{2}= \frac{(2a+2x)h}{2} = (a+x)h = dhcos\alpha = d^{2}sin\alpha cos\alpha}\)
no więc pole całego mamy...

Pole P(1)
\(\displaystyle{ tg2\alpha=\frac{h}{x}}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{h}{tg2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ P_{1}=\frac{(a+2x)h}{2}=\frac{1}{2}(dcos\alpha+\frac{h}{tg2\alpha})h=\frac{1}{2}dhcos\alpha+\frac{h^{2}}{2tg2\alpha}=\frac{1}{2}d^{2}sin\alpha cos\alpha+\frac{d^{2}sin^{2}\alpha}{2tg2\alpha}}\)

Pole P(2)
\(\displaystyle{ P_{2}=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}(dcos\alpha-\frac{h}{tg2\alpha})h=\frac{1}{2}d^{2}sin\alpha cos\alpha-\frac{d^{2}sin^{2}\alpha}{2tg2\alpha}}\)

[nuggle]

hmm ja pole liczylem w inny sposob ale ten jest duzo lepszy no ale w poleceniu jest oblicz pola trojkatow na jakie ten trapez dziela przekatne, wiec chyba trzeba liczyc pola 4 trojkatow no nie? bo promien okregu tak sobie mysle to mozna obliczyc dla trojkata o polu P(1), i to samo bedzie dla trapezu. jak sie nie myle to bedzie to:
\(\displaystyle{ \frac{c}{sin\alpha}=2R}\) (gdzie c to na rysunku ramię trapezu)
\(\displaystyle{ sin2\alpha=\frac{h}{c}\Leftrightarrow c=\frac{h}{sin2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ 2R=\frac{\frac{h}{sin2\alpha}}{sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ 2R=\frac{h}{sin\alpha sin2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ R=\frac{h}{2sin\alpha sin2\alpha}}\)


lepszego sposobu tutaj nie widze. korzystalem z tw. sinusow.
poprawione. teraz mam nadzieje juz dobrze
i nawet wynik lepszy mi wychodzi

[Calasilyar]

aha, rzeczywiście
no więc trochę więcej oznaczeń:



P(3) - pole niebieskiego trójkąta
P(4) - pole czerwonego trójkąta
P(5) - pole czerwono-zielono-niebieskiego trójkąta

\(\displaystyle{ tg\alpha = \frac{h_{1}}{\frac{1}{2}a+x}}\)
\(\displaystyle{ tg = \frac{h_{2}}{\frac{1}{2}}a=\frac{2h_{2}}{a}}\)
\(\displaystyle{ \frac{h_{1}}{a+2x} = \frac{h_{2}}{a}}\)
a oraz x mamy tgα też no więc chyba jest już luzik
jak mamy wysokości to mamy P(3) i P(4), a P(5) to P(1)-P(4) lub P(2)-P(3)

a propos promienia to czemu tu zrobiłes tw. sinusów to jest czworokąt a nie trójkąt;

[nuggle]

jezeli dobrze mysle to jezeli okrag jest opisany na tym trapezie (rownoramiennym) to jest on takze opisany na trojkacie z ktorego wyliczylem wlasnie ten promien mam racje?

[Calasilyar]

niby tak, ja myślalem odwrotnie od trójkąta i dlatego tak wykoncypowałem cóż niezbyt lubie geometrię i tak to potem jest

ale i tak to twierdzenie to powinno byc troche inaczej

\(\displaystyle{ \frac{c}{sin\alpha} = 2R}\)

[nuggle]

omg no to ladnie dowalilem. poprawiam to. juz wiem czemu cos mi tu nie pasowalo
a zastanawiam sie jeszcze czy pola P(5) nie daloby sie szybciej obliczyc. bo wg polecenia nie liczylbym pol P(1) i P(2) tylko najpierw pola P(3) i P(4). a dalej to wpadlem na ciekawy pomysl:

niech: k to dlugosc niebieskiego boku trojkata o polu P(5) ktory jest prostokątny. wtedy:

\(\displaystyle{ \frac{c}{sin60} = \frac{k}{sin30}}\)
i z tego:
\(\displaystyle{ k=c\frac{sin30}{sin60}}\)

i teraz liczac pole tego trojkata mamy
\(\displaystyle{ P(5)=\frac{kc}{2}=\frac{c^2}{2}\frac{sin30}{sin60}}\)

kąty jest latwo obliczyc, a uzyte kąty są kątami wewnętrznymi trójkata ktorego pole licze. czy to jest dobrze?