Okregi...3 zadania

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
Carl0s
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 174
Rejestracja: 1 maja 2006, o 12:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 2 razy

Okregi...3 zadania

Post autor: Carl0s »

1. Napisz rownanie okregu symetrycznego do okregu o rownaniu: \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-2x-4y+4=0}\) wzglegem prostej o rownaniu \(\displaystyle{ x-y-3=0}\).

Doszedlem do tego ze rownianie danego okregu to \(\displaystyle{ (x-2)^{2}+(y-2)^{2}=2^{2}}\) i odlegosc srodka danego okregu od szukanego wynosi \(\displaystyle{ 3\sqrt{2}}\).

2. W wycinek kola o promieniu R i kacie srodkowym \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) wpisano okrag. Oblicz jego pole powierzchni.

3. Promien okregu ma dlugosc 25cm, a dwie rownolegle cieciwy maja dlugosc 14cm i 40cm. Oblicz odleglosc miedzy tymi cieciwami.
Awatar użytkownika
Comma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 647
Rejestracja: 22 lis 2004, o 19:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: B-j
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 77 razy

Okregi...3 zadania

Post autor: Comma »

Ad. pierwszego.
Wyznaczasz wektor o początku w punkcie S(środek danego okręgu) i prostopadłego do danej prostej. Znając długość wektora SO(gdzie O - środek okręgu szukanego) liczysz współrzędne punktu O.
Awatar użytkownika
qsiarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 202
Rejestracja: 15 kwie 2006, o 15:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 18 razy

Okregi...3 zadania

Post autor: qsiarz »

do trzeciego robisz uklad rownan
x,y, odleglosci cieciw od srednicy

x^2 + 7^2 = 25^2
y^2 + 20^2 = 25^2


wychodzi x=24 y=15

wyniki o suma i roznica tych dwoch.


zadanie 2

narysuj sobie to ladnie, odcinek pomiedzy srodkami okregow wynosi R-r i jest dwusieczna kata - kat ten po podzieleniu ma 30 stopni. ze srodka okregu wpisanego w wycinek poprowadz wysokosc do ramiona, jest ona promieniem okregu wpisanego i wynosi r.

rozwazmy trojkat prostokatny o bokach
przyprostokatna przeciwlegla katowi 30 stopni = r
przeciwprostokatna = R-r
kat = 30 stopni

sin 30 = r/R-r
2r = R - r
r = R/3


P = R^2/9 * pi
Ostatnio zmieniony 6 lip 2006, o 01:13 przez qsiarz, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

Okregi...3 zadania

Post autor: Tristan »

2. Pole powierzchni tego okręgu jest równe 0.
Awatar użytkownika
Carl0s
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 174
Rejestracja: 1 maja 2006, o 12:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 2 razy

Okregi...3 zadania

Post autor: Carl0s »

ehh...ja wyliczyc w pierwszym wspolrzedne tego srodka bo z wzoru na odleglosc dwoch punktow to srenio da sie to zrobic...?
qsiarz, skad to wzieles??

Tristan, no wiem, ale przypuszczam, ze jest blad w zadaniu...wyobraz sobie, ze zamias "okreg" jest napisane "kolo"
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

Okregi...3 zadania

Post autor: Tristan »

1. Ja bym zrobił tak:
\(\displaystyle{ x^2 +y^2-2x-4y+4=0}\)
\(\displaystyle{ x^2-2x+1 +y^2 -4y+4 -1=0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2+(y-2)^2=1}\)
S=(1,2)
Mamy prostą y=x-3 oraz środek okręgu S=(1,2), więc możemy obliczyć prostą prostopadłą do y=x-3 przechodzącej przez punkt S=(1,2). Jej wzór to y=-x+3. Z układu równań wyliczysz punkt przecięcia się tych prostyc i otrzymasz, że punktem tym jest A=(3,0). Szukany środek okręgu to S'=(x, -x+3) ( ponieważ leży na prostej y=-x+3), musi więc zachodzić równośc \(\displaystyle{ |SA|=|AS'|}\) z której otrzymasz proste równanie:
\(\displaystyle{ \sqrt{ (3-1)^2 + (-2)^2 }=\sqrt{ (x-3)^2+(-x+3)^2}}\)
\(\displaystyle{ 8=2(x-3)^2}\)
\(\displaystyle{ 2^2=(x-3)^2}\)
\(\displaystyle{ x=5 \vee x=1}\)
Drugi wynik to pierwsza współrzedna naszego okręgu o środu S=(1,2), więc S'=(5,-2).

2. Środkiem dużego koła niech będzie punkt A. Środkiem małego koła niech będzie punkt C. Punktem styczności małego koła z promieniem R niech będzie punkt B. Mamy więc trójkąt ABC i jest on prostokątny. Zauważmy, że \(\displaystyle{ \angle BAC=30^{\circ}}\), oraz \(\displaystyle{ |AC|=R-r, |BC|=r}\), gdzie r - promień małego koła. Mamy więc, że \(\displaystyle{ \sin 30^{\circ}=\frac{r}{R-r}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2} (R-r)=r}\), więc \(\displaystyle{ r=\frac{1}{3}R}\). Obliczamy, że pole małego koła to \(\displaystyle{ P= \pi ( \frac{1}{3}R)^2=\frac{ \pi R^2}{9}}\). (teraz dopiero zauważyłem, że qsiarz podał rozwiązanie... )

3. qsiarz skorzystał po prostu z twierdzenia Pitagorasa. Weźmy jedną z cięciw i jej punkty wspólne z okręgiem oznaczmy jako A i B. Środkiem odcinka AB jest punkt C, a środkiem okręgu punkt O. Zauwaz, że trójkąt ACO jest prostokąty, gdzie |AC| masz dane, tak jak i |AO| bo jest to długość promienia, więc z twierdzenia Pitagorasa obliczysz odległość |CO|.
Ostatnio zmieniony 6 lip 2006, o 03:02 przez Tristan, łącznie zmieniany 3 razy.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Okregi...3 zadania

Post autor: mol_ksiazkowy »

S'=(5, -2) ?
Awatar użytkownika
Carl0s
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 174
Rejestracja: 1 maja 2006, o 12:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 2 razy

Okregi...3 zadania

Post autor: Carl0s »

a nie mozna to zrobic tak ??? :
\(\displaystyle{ \vec{SA}=[2,-2]}\)
\(\displaystyle{ \vec{SS'}=2\vec{SA}=[4,-4]}\)
\(\displaystyle{ x'=4+1=5}\)
\(\displaystyle{ y'=-4+2=-2}\)
\(\displaystyle{ S'(5,-2)}\)
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

Okregi...3 zadania

Post autor: Tristan »

Większość zadań z geometrii analitycznej ma to do siebie, że można je rozwiązać na wiele sposobów, ważne, aby rozwiązanie było dobre a wynik poprawny
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Okregi...3 zadania

Post autor: mol_ksiazkowy »

tak, zgadza się, ale trzeba szukac możliwie najprostszego i najszybszego rozwiazania...
ODPOWIEDZ