Czy wewnątrz kwadratu o boku 6 można umieścić prostokąt (wierzchołki prostokąta mogą leżeć na obwodzie kwadratu) o bokach
a) 1 i 7 ;
b) 0,5 i 9 ;
c) 3 i 8 ;
d) 1,4 i 6,1 ? Jak to sprawdzić ?
Prostokąt wpisany w kwadrat
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Prostokąt wpisany w kwadrat
Załóżmy, że dłuższy bok prostokąta jest zarazem przeciwprostokątna trójkąta równoramiennego, któego ramionami są części boków naszego kwadratu.
a) Daną przeciwprostokątna jest bok prostokąta o długości równej 7. Czyli aby obliczyć długość części boku kwadratu, która jest przyprostokątna, z twierdzenia Pitagorasa układamy równanie:
\(\displaystyle{ a^2+a^2=7^2}\)
\(\displaystyle{ 2a^2=49}\)
\(\displaystyle{ a^2=\frac{49}{2}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{ 7\sqrt{2} }{2}}\)
Aby dany prostokąt rzeczywiście można było umieścić w kwadracie, musi zachodzić dana nierówność:
\(\displaystyle{ 2 ( 6- a)^2 q 1^2}\)
Ta nierówność również bierze się z twierdzenia Pitagorasa. Mamy cześć boku kwadratu, która nie jest przyprostokątna wcześniejszego trójkąta. Jej długość to \(\displaystyle{ 6-a}\). Zakładamy, że jest ona przyprostokątna drugiego trójkąta, również prostokątnego i równoramiennego, którego przeciwprostokątna musi być dłuższa, bądź równa długości mniejszego boku prostokąta ( dobrze byłoby, gdybyś zrobiła sobie pomocniczy rysunek).
Podstawiając wczesniej wyliczone a do naszej nierówność, łatwo obliczyć ( np. z pomocą zwykłego kalkulatora ), że dana nierówność zachodzi, więc prostokąt o bokach długości 1 i 7 można umieścić w kwadracie o boku 6.
W przykładach c) i d) postępujesz w ten sam sposób. W przykładzie b) nie ma takiej potrzeby. Zauważ, że przeciwprostokątna kwadratu ma długośc \(\displaystyle{ 6 \sqrt{2}}\), co jest mniejsze od 9, więc prostokąta, którego jeden z boków będzie miał długość 9 nie można wpisać w ten kwadrat.
a) Daną przeciwprostokątna jest bok prostokąta o długości równej 7. Czyli aby obliczyć długość części boku kwadratu, która jest przyprostokątna, z twierdzenia Pitagorasa układamy równanie:
\(\displaystyle{ a^2+a^2=7^2}\)
\(\displaystyle{ 2a^2=49}\)
\(\displaystyle{ a^2=\frac{49}{2}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{ 7\sqrt{2} }{2}}\)
Aby dany prostokąt rzeczywiście można było umieścić w kwadracie, musi zachodzić dana nierówność:
\(\displaystyle{ 2 ( 6- a)^2 q 1^2}\)
Ta nierówność również bierze się z twierdzenia Pitagorasa. Mamy cześć boku kwadratu, która nie jest przyprostokątna wcześniejszego trójkąta. Jej długość to \(\displaystyle{ 6-a}\). Zakładamy, że jest ona przyprostokątna drugiego trójkąta, również prostokątnego i równoramiennego, którego przeciwprostokątna musi być dłuższa, bądź równa długości mniejszego boku prostokąta ( dobrze byłoby, gdybyś zrobiła sobie pomocniczy rysunek).
Podstawiając wczesniej wyliczone a do naszej nierówność, łatwo obliczyć ( np. z pomocą zwykłego kalkulatora ), że dana nierówność zachodzi, więc prostokąt o bokach długości 1 i 7 można umieścić w kwadracie o boku 6.
W przykładach c) i d) postępujesz w ten sam sposób. W przykładzie b) nie ma takiej potrzeby. Zauważ, że przeciwprostokątna kwadratu ma długośc \(\displaystyle{ 6 \sqrt{2}}\), co jest mniejsze od 9, więc prostokąta, którego jeden z boków będzie miał długość 9 nie można wpisać w ten kwadrat.