2 zadania z czworokątami i okręgami

[Carl0s]

Jak licze te zadania samemu to wychodza mi jakies bzdurne wyniki i nie wiem gdzie robie blad ??:

1. Udowodnij, ze jesli trzy kolejne katy czworokata wpisanego w okrag tworza ciag arytmetyczny, to dwa katy tego czworokata sa proste.

2. W kole o promieniu r zawarty jest kwadrat. Wykazac, ze pole tego kwadratu nie jest wieksze od 2r�. (nie wiem czy dobrze rozumiem pojecie "zawarty" i moze dlatego zle mi wychodzi)

[Tristan]

1. Niech trzema kolejnymi kątami będą \(\displaystyle{ \alpha, +r, +2r}\). Czwarty kąt to \(\displaystyle{ \beta}\). Z twierdzenia, że na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów są równe oraz, że sumy te tworzą \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\), mamy, że \(\displaystyle{ \alpha+(\alpha+2r)=180^{\circ}}\). Wynika z tego, że \(\displaystyle{ \alpha+r=90^{\circ}}\), a zarazem \(\displaystyle{ (\alpha+r)+\beta=180^{\circ}}\), więc \(\displaystyle{ \beta=90^{\circ}}\) cnd.
2. Niech bok kwadratu ma długość \(\displaystyle{ a}\). Pole kwadratu będzie maksymalne, gdy jego przekątną będzie średnica koła, z czego wynika nierówność \(\displaystyle{ a\sqrt{2} q2r}\), więc podnosząc obustronnie do kwadratu i dzieląc przez 2 otrzymujemy, że \(\displaystyle{ a^2 q 2r^2}\), gdzie z lewej strony mamy pole tegoż kwadratu.

[Carl0s]

hmm...tez mi tak wyszlo..ale jezeli β ma 90° to przeciwlegly czyli w tym wypadku α+r ma tez 90° i gdzie wtedy ten ciag arytmetyczny?

[Tristan]

Przeczytaj uważnie moje pierwsze dwa zdania w poprzednim poście. Kąt \(\displaystyle{ \beta}\) nie jest wyrazem tego ciągu arytmetycznego.

[Carl0s]

no wiem, ze nie jest...czyli, ze na 3 pozostale katy zostaje 270°, w poleceniu jest, ze dwa katy maja byc proste, no i ze kolejne katy twoza ciag, wiec ten drugi kat prosty musi byc α lub α+2r...biorac pod uwage, ze sumy przeciwleglych katow musza wynosic 180° wychodzi mi sprzeczny wynik.. ??:

[Tristan]

Kąty naprzeciwległe to: \(\displaystyle{ \alpha, + 2r}\) oraz \(\displaystyle{ \alpha + r, \beta}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ \alpha +r= 90^{\circ}}\) oraz \(\displaystyle{ \beta =90^{\circ}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \alpha, +r, +2r}\) tworzą trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego i wiemy, że \(\displaystyle{ \alpha+r=90^{\circ}}\), więc można zapisać, że \(\displaystyle{ \alpha=90^{\circ} -r}\), \(\displaystyle{ \alpha+2r=90^{\circ} + r}\). Musi zachodzić, że \(\displaystyle{ \alpha+\alpha+r+ + 2r+ \beta=360^{\circ}}\) i podstawiając otrzymujemy \(\displaystyle{ 90^{\circ}- r+ 90^{\circ} + 90^{\circ}+r+ 90^{\circ}=360^{\circ}}\), co jest prawdą, więc wszystko się zgadza.