Z wierzchołka C kąta prostego trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono wysokośc h na przeciwprostokątną AB. Spodek wysokoći D podzielił przeciwprostokątną na odcinki p i q. Wykaż, że długośc wysokości h jest średnią geometryczną dlugości odcinków p i q.
Proszę o pomoc i wyjaśnienie ;(
Wysokośc w trójkącie prostokątnym
-
- Użytkownik
- Posty: 52
- Rejestracja: 19 wrz 2009, o 20:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
-
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 8 sty 2010, o 14:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Pomógł: 1 raz
Wysokośc w trójkącie prostokątnym
robisz rysunek, zaznaczasz boki AC = a, BC = b, AB zostaje podzielone na dwa odcinki przez poprowadzoną wysokość (h), nazwijmy je p i q. Układasz 3 równiania
1. twierdzenie pitagorasa dużego trójkąta
2. twierdzenie pitagorasa pierwszego małego trójkąta
3. twierdzenie pitagorasa drugiego małego trójkąta
1. \(\displaystyle{ (q+p) ^{2} = a ^{2} + b ^{2}}\)
2. \(\displaystyle{ a ^{2} = q ^{2} + h ^{2}}\)
3. \(\displaystyle{ b ^{2} = h ^{2} + p ^{2}}\)
dodajesz stronami równanie 2 i 3. po dodaniu masz równanie
\(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2} = 2h ^{2} + q ^{2} + p ^{2}}\)
można zauważyć, że w równaniu występują takie same wyrażenia po jednej stronie \(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2}}\), więc z pierwszego równania można podstawić zamiast \(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2}}\) wyrażenie \(\displaystyle{ (q+p) ^{2}}\).
Otrzymujesz równanie
\(\displaystyle{ (q+p) ^{2} = 2h ^{2} + q ^{2} + p ^{2}}\)
dalej wzór skróconego mnożenia, ładnie się redukuje i wychodzi piękny wynik
\(\displaystyle{ h = \sqrt{qp}}\)
1. twierdzenie pitagorasa dużego trójkąta
2. twierdzenie pitagorasa pierwszego małego trójkąta
3. twierdzenie pitagorasa drugiego małego trójkąta
1. \(\displaystyle{ (q+p) ^{2} = a ^{2} + b ^{2}}\)
2. \(\displaystyle{ a ^{2} = q ^{2} + h ^{2}}\)
3. \(\displaystyle{ b ^{2} = h ^{2} + p ^{2}}\)
dodajesz stronami równanie 2 i 3. po dodaniu masz równanie
\(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2} = 2h ^{2} + q ^{2} + p ^{2}}\)
można zauważyć, że w równaniu występują takie same wyrażenia po jednej stronie \(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2}}\), więc z pierwszego równania można podstawić zamiast \(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2}}\) wyrażenie \(\displaystyle{ (q+p) ^{2}}\).
Otrzymujesz równanie
\(\displaystyle{ (q+p) ^{2} = 2h ^{2} + q ^{2} + p ^{2}}\)
dalej wzór skróconego mnożenia, ładnie się redukuje i wychodzi piękny wynik
\(\displaystyle{ h = \sqrt{qp}}\)