Wysokośc w trójkącie prostokątnym

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
SenioritaKamilaK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 52
Rejestracja: 19 wrz 2009, o 20:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Wysokośc w trójkącie prostokątnym

Post autor: SenioritaKamilaK »

Z wierzchołka C kąta prostego trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono wysokośc h na przeciwprostokątną AB. Spodek wysokoći D podzielił przeciwprostokątną na odcinki p i q. Wykaż, że długośc wysokości h jest średnią geometryczną dlugości odcinków p i q.

Proszę o pomoc i wyjaśnienie ;(
dupakaka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 8 sty 2010, o 14:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Pomógł: 1 raz

Wysokośc w trójkącie prostokątnym

Post autor: dupakaka »

robisz rysunek, zaznaczasz boki AC = a, BC = b, AB zostaje podzielone na dwa odcinki przez poprowadzoną wysokość (h), nazwijmy je p i q. Układasz 3 równiania

1. twierdzenie pitagorasa dużego trójkąta
2. twierdzenie pitagorasa pierwszego małego trójkąta
3. twierdzenie pitagorasa drugiego małego trójkąta

1. \(\displaystyle{ (q+p) ^{2} = a ^{2} + b ^{2}}\)
2. \(\displaystyle{ a ^{2} = q ^{2} + h ^{2}}\)
3. \(\displaystyle{ b ^{2} = h ^{2} + p ^{2}}\)

dodajesz stronami równanie 2 i 3. po dodaniu masz równanie
\(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2} = 2h ^{2} + q ^{2} + p ^{2}}\)

można zauważyć, że w równaniu występują takie same wyrażenia po jednej stronie \(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2}}\), więc z pierwszego równania można podstawić zamiast \(\displaystyle{ a ^{2} + b ^{2}}\) wyrażenie \(\displaystyle{ (q+p) ^{2}}\).

Otrzymujesz równanie
\(\displaystyle{ (q+p) ^{2} = 2h ^{2} + q ^{2} + p ^{2}}\)

dalej wzór skróconego mnożenia, ładnie się redukuje i wychodzi piękny wynik
\(\displaystyle{ h = \sqrt{qp}}\)
ODPOWIEDZ