(3 zadania) Oblicz pole równoległoboku

Zuzia · Post autor: **Zuzia** » 24 paź 2004, o 22:06

Głowię się dzisiaj nad takimi trzema zadaniami, ale nie mogę nic wymyśleć.

1/
Oblicz pole równoległoboku, mając dane długości jego boków i kąt między przekątnymi.

2/
Oblicz pole równoległoboku, majac dane długości jego przekątnych i kąt ostry równoległoboku.

3/
Udowodnij, że suma kwadratów długości przekątnych równoległoboku równa się sumie kwadratów długości wszystkich jego boków.

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 24 paź 2004, o 23:33

zad 1

Ze wzoru na pole równoległoboku

P=ab*sin(alfa) [alfa

Zuzia_Zła · Post autor: **Zuzia_Zła** » 25 paź 2004, o 08:10

Skrzypu, czy mógłbyś mi pokazać jak dowieść do twierdzenia, że:
P=ab*sin(alfa) [alfa

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 25 paź 2004, o 13:42

Rysujesz równoległobok i oznaczasz ABCD tak, że AB to podstawa dolna CD podstawa górna. |AB|=|CD|=a, |BC|=|AD|=b

Kąty przy wierzchołkach B, D to alfa, przy A, C to beta

Rysujesz odcinek AC i teraz powstają dwa trójkąty o równych polach

Jest taki wzorek na pole trójkąta 1/2*ab*sin(alfa) [alfa-kąt pomiędzy bokami a, b] (jeśli nie wiesz skąd ten wzorek to napisz, to go rozpisze)

W naszym równoległoboku są dwa takie trójką więc 2*pole trójkąta

A pole tego trójkąta wynosi właśnie 1/2*a*b*sin(alfa)

Więc pole równoległoboku to P=ab*sin(alfa) [alfa-to kąt pomiędzy bokami, taki, że alfa

Zuzia_Zła · Post autor: **Zuzia_Zła** » 25 paź 2004, o 16:02

Ale przecież nie mamy podanego kąta między bokami, tylko przekątnymi...

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 25 paź 2004, o 17:05

No to z twierdzenia cosinusów obliczasz sobie długość przekątnej i już

Zuzia_Zła · Post autor: **Zuzia_Zła** » 25 paź 2004, o 17:09

Ale w jaki sposób... podany kąt jest między przekątnymi. Przekątną dałoby się obliczyć, jeżeli byśmy znali kąt między bokami, no ale tak to nie wiem czy się da.

Skrzypu · Post autor: **Skrzypu** » 25 paź 2004, o 17:33

No możesz znaleźć miary pozostałych kątów z sumy kątów w trójkącie = 180

Oznaczasz kąty przy wierzchołkach i z układu równań powinno wyjść

Zuzia_Zła · Post autor: **Zuzia_Zła** » 25 paź 2004, o 19:01

Jak mam wyznaczyć pozostałe kąty trójkąta, jeżeli mamy tylko 1 podany???

W_Zygmunt · Post autor: **W_Zygmunt** » 30 paź 2004, o 01:28

Oznaczmy prez d=|AC| i e=|BD| oraz S przcięcie przekątnych.
Z trójkąta ABS mamy a^2 = (d/2)^2 + (e/2)^2 - 2*(d/2)*(e/2)*cos(pi-fi) =>
a^2 = (d/2)^2 + (e/2)^2 +2*(d/2)*(e/2)*cos(fi)
Z trójkąta ASD
b^2 = (d/2)^2 + (e/2)^2 -2*(d/2)*(e/2)*cos(fi)
(Jak dodamy stronami dostanimy rozwiązanie 3-go zadania).
Odejmujmy stronami
a^2-b^2 = 4*(d/2)*(e/2)*cos(fi)
a^2-b^2 = d*e*cos(fi)/*(1/2)sin(fi)
1/2 *d*e*sin(fi)*cos(fi) = 1/2 * (a^2-b^2)*sin(fi) /:cos(fi)
1/2 *d*e*sin(fi) = 1/2 * (a^2-b^2)*tg(fi)
i mamy wzór na pole.

Ad2.
Teraz mamy dane d , e i alfa.

Z trójkąta ABD e^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(alfa)

Z trójkąta ABC d^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cos(pi-alfa)
Dalej patrz jak wyżej.

przytulasek · Post autor: **przytulasek** » 7 lis 2009, o 15:59

Mam następujące zadanie:
Krótsza przekątna równoległoboku równa 6cm tworzy z jednym z boków tego równoległoboku kat o mierze 30 stopni. Kąt ostry równoległoboku ma miarę 60 stopni. Oblicz pole i obwód tego równoległoboku.

Jakby mi mógł ktoś rozwiązać to zadanie będę wdzięczna.