trójkąt prostokątny

J12 · Post autor: **J12** » 27 gru 2009, o 11:53

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długość a i 2a. Oblicz długość promienia okręgu stycznego do obu przyprostokątnych o środku leżącym na przeciwprostokątnej.

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 27 gru 2009, o 12:06

Poprowadźmy promienie danego okręgu do każdej z przyprostokątnych trójkąta. Rozważmy dowolny kąt ostry trójkąta. Na jego ramionach zostały odłożone odcinki równoległe (jeden równy promieniowi \(\displaystyle{ r}\) danego okręgu, drugi będący jedną z przyprostokątnych trójkąta).
Z twierdzenia Talesa dostajemy \(\displaystyle{ \frac{2a-r}{r}=\frac{2a}{a}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{a-r}{r}=\frac{a}{2a}}\). W obydwu przypadkach dostajemy jednak \(\displaystyle{ r=\frac{2}{3}a}\).