wykaż, że można opisać okrąg

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Soniqa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 2 paź 2005, o 19:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 3 razy

wykaż, że można opisać okrąg

Post autor: Soniqa »

zadanie o następującej treści:
W danym okręgu punkt A jest środkiem łuku BC i dwie dowolne cięciwy AD, AE przecinają cięciwę BC w punktach B1, C1. Wykaż, że wówczas na czworokącie B1C1ED można opisać okrąg.
liu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

wykaż, że można opisać okrąg

Post autor: liu »

Rysunek:

Mamy wykazac, ze \(\displaystyle{ Y = \angle DEA + \angle DB_1C_1 = 180^o}\).

Zauwazmy, ze katy DEA i DBA sa oparte na tym samym luku, oraz, ze katy DB1C1 i CB1A maja te sama miare, wiec

\(\displaystyle{ Y = \angle DEA + \angle DB_1C_1 = \angle DBA + \angle CB_1A}\)
Dalej zauwazmy, ze \(\displaystyle{ \angle DBA = \angle DBC + \angle CBA}\), wiec

\(\displaystyle{ Y = \angle DBC + \angle CBA + \angle CB_1A}\)

\(\displaystyle{ \angle DBC = \angle DAC}\) (katy wpisane oparte na tym samym luku), \(\displaystyle{ \angle CBA = \angle B_1CA}\) (poniewaz A jest srodkiem luku BC, to trojkat BCA jest rownoramienny), wiec
\(\displaystyle{ Y = \angle DAC + \angle B_1CA + \angle CB_1A}\)
A to jest rowne 180 stopni, gdyz jest to suma katow wewnetrznych trojkata ACB1.
ODPOWIEDZ