Kąty w okręgu

[Chromosom]

Jest to zadanie z gliwickiego konkursu "Potyczki matematyczne 2009", termin nadsyłania rozwiązań upłynął wczoraj. Powiem krótko - tak wydumanego zadania z kątów w okręgu jeszcze nie widziałem. Próbowałem rozwiązać chyba przez godzinę, niestety do niczego nie doszedłem - z każdego ułożonego równania wychodziło mi wyrażenie typo 180=180; będę pełen podziwu, jeśli komuś się uda;]

Średnica AB przecina cięciwę CD okręgu w punkcie M. Kąt CMB ma miarę 75 stopni, a kąt środkowy oparty na łuku BC, do którego nie należy punkt D, ma miarę 110 stopni. Oblicz miarę kąta środkowego opartego na łuku AD, nieprzechodzącym przez B.

[Justka]

Niech \(\displaystyle{ \alpha= \sphericalangle DOA}\), wtedy \(\displaystyle{ \sphericalangle DBA=\frac{\alpha}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle ODB=\frac{\alpha}{2}}\). Wiadomo tez, że \(\displaystyle{ \sphericalangle BDC=55}\), stąd \(\displaystyle{ \sphericalangle ODM= \sphericalangle OCM=55-\frac{\alpha}{2}}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \sphericalangle OCM=180-75-70=35}\) to \(\displaystyle{ 55-\frac{\alpha}{2}=35 \Rightarrow \alpha=40}\). ;]

Mam nadzieję, że nie przekombinowałam.

[Sherlock]

1. Liczymy miarę kąta wpisanego CDB - połowa 110 stopni.
2. Liczymy miarę kąta MBD - kąty w trójkącie MBD sumują się do 180 stopni (jak w każdym )
3. Kąt środkowy AED to dwa razy kąt MBD.

[Chromosom]

Takie proste to było, a ja na to nie wpadłem, wstyd, wstyd:P
dzięki za pomoc!