Twierdzenie cos i sin.

Laki_Luk · Post autor: **Laki_Luk** » 10 cze 2006, o 15:27

Witam.
Na klasówce z twier. cos i sin miałem takie zadanie i nie mogę dojść jak je poprawnie rozwiązać a w pon. będę pisał poprawę więc prosiłbym o pomoc.
Zad.
Przekątne równoległoboka ABCD przecinają się pod kątem 60° a ich długości wynoszą 2 i 6.
Oblicz:
a) pole i obwód równoległoboka
b) długość obu wysokości
c) pole koła opisanego na trójkącie ABC
Z góry dzięki.

robert179 · Post autor: **robert179** » 10 cze 2006, o 15:44

O - punkt przecięcia przekątnych, przecinają się one w połowie.
\(\displaystyle{ AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}+2*AO+BO*cos60}\)
\(\displaystyle{ BC^{2}=BO^{2}+CO^{2}+2*BO*CO*cos120}\)

Laki_Luk · Post autor: **Laki_Luk** » 10 cze 2006, o 15:57

Witam.
Do tego doszłem, boki mi wyszły √7 i √13 tylko nie wiem co dalej bo jak próbuje obliczyć kąty rónoleg. z twier. cos to mi wychądzą dziwne liczby dlatego proszę o pomoc kogoś dobrze umiejącego ten dział.

[ Dodano: Sob Cze 10, 2006 5:01 pm ]
A czy można by użyć do obliczenia pola tak trochę skrótem wzoru P=d1*d2/2 * sin kąta między nimi?

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 10 cze 2006, o 16:04

Wysokość też łatwo obiczyć: Zajmując się np. tą krótszą to masz tak:
mając daną już długość boku dłu zszego i krótszego oraz krótszej przekątnej możesz z twierdzenia cosinusów obliczyć kąt zawarty pomiędzy krótszą przekątną (nazwijmy ja \(\displaystyle{ d_{1}}\) ) a dłuższym bokiem. niech ten kąt będzie \(\displaystyle{ \alpha}\) wtedy otrzymasz
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{h}{d_{1}}}\)

keejt · Post autor: **keejt** » 10 cze 2006, o 16:08

oznazcy sobie boki równoległoboku:
nich \(\displaystyle{ a}\) będzie bokiem leżącym na przeciw kata \(\displaystyle{ 120}\) natomiast \(\displaystyle{ b}\) będie bokiem lezącym naprzeciw kąta \(\displaystyle{ 60}\)

z twierdzenia cosinusów obliczamy długośc boku \(\displaystyle{ b}\)

\(\displaystyle{ \large b^{2}=3^{2} + 1^{2} - 3cos60 = 10 - \frac{3}{2} = \frac{17}{2}}\)

\(\displaystyle{ \large b =\sqrt{ \frac{17}{2}}}\)

obliczamy długośc boku \(\displaystyle{ a}\)

\(\displaystyle{ \large a^{2}=3^{2} + 1^{2} - 3cos120 = 10 + \frac{3}{2} = \frac{23}{2}}\)

\(\displaystyle{ \large a=\sqrt{ \frac{23}{2}}}\)

obwód można wyliczyć bez problemu
pole policzymy ze wzoru:

\(\displaystyle{ \large P= \frac{1}{2}d_{1}d_{2}}\)

gdzie \(\displaystyle{ d_{1}}\), \(\displaystyle{ d_{2}}\) oznaczają przekatne równoległoboku ktorych długość mamy daną w zadaniu, więc podstawiamy

\(\displaystyle{ \large P = \frac{1}{2} 2*6 = 6}\)

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 10 cze 2006, o 16:12

Radzę zajrzeć tu: https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=3357 są tu zawarte wzory na pole.

Laki_Luk · Post autor: **Laki_Luk** » 10 cze 2006, o 16:20

Apropo keejt to brakuje ci 2 przed - we wzorze cos i wtedy wyjdzei jak wcześniej pisałem

keejt · Post autor: **keejt** » 10 cze 2006, o 16:22

teraz aby policzyc wysokosci mozna skorzystac z innego wzoru na pole rownolegloboku a mianowicie pole równoległoboku równe jest iloczynowi bku i wysokości opoadającej na ten bok, oznaczmy sobie przez \(\displaystyle{ h_{1}}\) wysokośc opuszczona na bok \(\displaystyle{ a}\) a przez \(\displaystyle{ h_{2}}\) wysokośc opuszczona na bok \(\displaystyle{ b}\)
czyli:

\(\displaystyle{ P = ah_{1} = bh_{2} = 6}\)

dostajemy dwa uklady równań:

\(\displaystyle{ \large \sqrt{ \frac{23}{2}}h_{1} = 6}\)
\(\displaystyle{ \large h_{1} = \frac{6 \sqrt{2}}{ \sqrt{23}}}\)

\(\displaystyle{ \large \sqrt{ \frac{17}{2}}h_{2} = 6}\)
\(\displaystyle{ \large h_{2} = \frac{6 \sqrt{2}}{ \sqrt{17}}}\)

[ Dodano: Sob Cze 10, 2006 5:23 pm ]
no racja brakuje

[ Dodano: Sob Cze 10, 2006 5:28 pm ]
ale mam nadzieje że oprócz obliczen reszta jest w miarę dobrze

Laki_Luk · Post autor: **Laki_Luk** » 10 cze 2006, o 19:23

A czy napewno wzór na pole z tymi przekątnymi jest dobry dla równoległoboku, bo wydje mi się że tylko dla rombu?

[ Dodano: Sob Cze 10, 2006 8:26 pm ]
ale z drugiej strony to przecież pole można obliczyć ze wzoru bok*bok*sin kąt międy nimi obliczając kąty z wzoru sinusów. Jak by nie było wielkie dzięki za pomoc keejt:)