Napisz równanie obrazu okręgu \(\displaystyle{ (x-3)^2+(y-5)^2=25,5}\) w jednokładności o środku w punkcie \(\displaystyle{ P=(1,0)}\) i skali \(\displaystyle{ k=-2}\).
Proszę o pomoc.
Równanie okręgu
-
hubertwojtowicz
- Użytkownik
- Posty: 269
- Rejestracja: 29 wrz 2008, o 16:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa\Słupsk
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 32 razy
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równanie okręgu
Jednokładność o niezerowej skali k i środku w punkcie P to przekształcenie, które danemu punktowi \(\displaystyle{ A}\) przyporządkowauje punkt \(\displaystyle{ A'}\) taki, że:
\(\displaystyle{ \vec{PA'}=k\vec{PA}}\)
Dla \(\displaystyle{ P=(1,0),k=-2}\) będzie to oznaczało, że danemu \(\displaystyle{ (x,y)}\) przyporządkowujesz takie \(\displaystyle{ (x',y')}\), że:
\(\displaystyle{ [x'-1,y']=-2[x,y]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x'-1=-2x \\ y'=-2y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{1-x^{/}}{2} \\ y= -\frac{y^{/}}{2} \end{cases}}\)
Kiedy chcesz otrzymać równanie obrazu (w dowolnym przekształceniu) danej krzywej, uzależniasz właśnie w ten sposób \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) od \(\displaystyle{ x',y'}\) i podstawiasz otrzymane zależności do pierwotnego równania (tutaj:
\(\displaystyle{ \left(\frac{1-x'}{2} -3\right)^{2}+\left(-\frac{y'}{2}-5\right)^{2}=25.5}\)),
opuszczasz znaczki ', bo nie są już potrzebne:
\(\displaystyle{ \left(\frac{1-x}{2} -3\right)^{2}+\left(-\frac{y}{2}-5\right)^{2}=25.5}\)
i masz gotowe równanie nowej krzywej (możesz sobie je jeszcze jakoś ładnie poprzekształcać).
\(\displaystyle{ \vec{PA'}=k\vec{PA}}\)
Dla \(\displaystyle{ P=(1,0),k=-2}\) będzie to oznaczało, że danemu \(\displaystyle{ (x,y)}\) przyporządkowujesz takie \(\displaystyle{ (x',y')}\), że:
\(\displaystyle{ [x'-1,y']=-2[x,y]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x'-1=-2x \\ y'=-2y \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{1-x^{/}}{2} \\ y= -\frac{y^{/}}{2} \end{cases}}\)
Kiedy chcesz otrzymać równanie obrazu (w dowolnym przekształceniu) danej krzywej, uzależniasz właśnie w ten sposób \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) od \(\displaystyle{ x',y'}\) i podstawiasz otrzymane zależności do pierwotnego równania (tutaj:
\(\displaystyle{ \left(\frac{1-x'}{2} -3\right)^{2}+\left(-\frac{y'}{2}-5\right)^{2}=25.5}\)),
opuszczasz znaczki ', bo nie są już potrzebne:
\(\displaystyle{ \left(\frac{1-x}{2} -3\right)^{2}+\left(-\frac{y}{2}-5\right)^{2}=25.5}\)
i masz gotowe równanie nowej krzywej (możesz sobie je jeszcze jakoś ładnie poprzekształcać).