okrąg, styczne i odcinek

[Sztywny01]

Proszę o pomoc z tym zadaniem. Dany jest okrąg o środku O i promieniu 3. Z punktu P poprowadzono dwie styczne do tego okręgu w punktach M i N (rysunek powyżej). Wiedząc, że MPN ma miarę 30 ^{o}, oblicz długość cięciwy MN.

Mi wyszło \(\displaystyle{ 6 \sqrt{2}+6}\) ale w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ 3 \sqrt{2+ \sqrt{3} }}\)

[junior15]

napisz w jaki sposób to robiłeś, to znajdziemy błąd

[Sztywny01]

Zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ sin15 ^{O}= \frac{3}{|PN|}}\)
\(\displaystyle{ sin15^{O}=sin(45-30)= \frac{ \sqrt{2} }{2}- \frac{1}{2}= \frac{ \sqrt{2}-1 }{2}}\)
\(\displaystyle{ |PN|=6 \sqrt{2}+6}\)
\(\displaystyle{ sin15= \frac{ \frac{1}{2}|NM| }{6 \sqrt{2}+6}}\)
\(\displaystyle{ |NM|=6}\)

Wcześniej podałem że ta długość wyszła mi \(\displaystyle{ 6 \sqrt{2}+6}\) ale źle spojrzałem do notatek, bo wyszło mi \(\displaystyle{ 6}\).

[junior15]

Podstawowy błąd to \(\displaystyle{ |MN|}\) nie jest średnicą.



\(\displaystyle{ \alpha= \frac{180-30}{2} =75 ^{o}}\). Promień ze styczną tworzą kąt prosty, więc kąt obok \(\displaystyle{ \alpha}\) wynosi \(\displaystyle{ 15^{o}}\). Promienie utworzyły trójkat równoramienny, więc Kąt \(\displaystyle{ \beta=150^{o}}\). Teraz z tw. cosinusów możesz wyliczyć \(\displaystyle{ |MN|}\), a mianowicie \(\displaystyle{ |MN|^{2}=r^{2} +r^{2}-2r^{2}cos150=2r^{2}+2r^{2}sin60=18+18 \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ |MN|= \sqrt{18+9 \sqrt{3} } = 3 \sqrt{2+ \sqrt{3} }}\)