Oblicz długość odcinaka łączącego środki ramion trapezu

[nogiln]

W trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym podstawa \(\displaystyle{ \left| AB\right|= 12 \ cm}\) i podstawa \(\displaystyle{ \left| CD\right|= 4 \ cm}\), poprowadzono odcinek łączący środki ramion tego trapezu, oblicz długość tego odcinka.

[piasek101]

Masz gotową zależność \(\displaystyle{ 0,5(a-b)}\)

[edit] Sorki za tę zależność nie sprawdzałem co napisałem - a znak pomyliłem.

[nogiln]

Masz gotową zależność \(\displaystyle{ 0,5(a-b)}\)

co to za zależność?

[michas-__]

W trapezie odcinek łączący środki ramion jest średnią arytmetyczną długości jego podstaw.

[nogiln]

W trapezie odcinek łączący środki ramion jest średnią arytmetyczną długości jego podstaw.

jakiś dowód możesz podać, skąd bierze się to twierdzenie?

[michas-__]

Należy wykazać że \(\displaystyle{ 0,5(a+b) = c}\)
Powstają dwa trójkąty podobne \(\displaystyle{ ACD}\) i \(\displaystyle{ D{}EF}\).
Można więc zapisać zależność:

\(\displaystyle{ \frac{2y}{a + b} = \frac{y}{c} \\
2yc = y(a + b) \\
c = \frac{y(a + b)}{2y} \\
c = \frac{a + b}{2}}\)

Co należało okazać.

[nogiln]

może ktoś podać odpowiednie proporcje?

[bakala12]

michas-__, hola hola, a pokazałeś, że linia środkowa jest równoległa do podstaw? Dopóki tego nie pokażesz nie korzystaj z podobieństwa trójkątów.
Najprostszy dowód twierdzenia o linii środkowej trapezu jaki znam korzysta z własności wektorów.

Dowód:    

Niech \(\displaystyle{ M,N}\) będą środkami ramion odpowiednio \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\). Wówczas zapisujemy równości:
\(\displaystyle{ \vec{MN}=\vec{MD}+\vec{DC}+\vec{CN} \\
\vec{MN}=\vec{MA}+\vec{AB}+\vec{BN}}\)
Dodając stronami i upraszczając dostaniemy: \(\displaystyle{ \vec{MN}=\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{DC}\right)}\). Ponieważ \(\displaystyle{ AB \parallel DC}\) to również suma tych wektorów jest równoległa do obu z nich. Zatem \(\displaystyle{ MN||AB}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ \left|MN\right|=\left|\vec{MN}\right|=\frac{1}{2}\left|\vec{AB}+\vec{DC}\right|=\frac{1}{2}\left(\left|\vec{AB}\right|+\left|\vec{DC}\right|\right)=\frac{1}{2}\left(|AB|+|DC|\right)}\)
bo dla wektorów równoległych i o tym samym kierunku mamy \(\displaystyle{ \left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\left|\vec{a}\right|+\left|\vec{b}\right|}\)

[mortan517]

Skoro już padła fraza średnia arytmetyczna to polecam poczytać o wszystkich pozostałych średnich w trapezie (kwadratowa, geometryczna, harmoniczna).

[nogiln]

W trapezie odcinek łączący środki ramion jest średnią arytmetyczną długości jego podstaw.

Chodzi mi o tw. Talesa,

-- 13 kwietnia 2015, 06:46 --

Należy wykazać że \(\displaystyle{ 0,5(a+b) = c}\)
Powstają dwa trójkąty podobne \(\displaystyle{ ACD}\) i \(\displaystyle{ D{}EF}\).

Może ktoś napisać jakie kąty są odpowiednie, i z jakich własności należy skorzystać aby wykazać podobieństwo trójkątów \(\displaystyle{ ACD}\) i \(\displaystyle{ AEF}\)?

-- 13 kwietnia 2015, 07:48 --

oczywiście \(\displaystyle{ D{}EF}\)-- 14 kwietnia 2015, 15:03 --Odpowiednie boki jakie mi się udało ustalić to bok \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ ED}\), których stosunek \(\displaystyle{ \frac{AD}{ED}=2}\)>
Kąty odpowiednie to kąt\(\displaystyle{ ACD}\) leżący na przeciw boku \(\displaystyle{ AD}\) w trójkącie \(\displaystyle{ ACD}\) i kąt \(\displaystyle{ EFD}\) leżący na przeciw boku \(\displaystyle{ ED}\) w trójkącie \(\displaystyle{ EFD}\)