Obliczanie miar kątów.

[piotrek1703]

Nie wiem za bardzo, jak zabrać się za to zadanie...
Wyobraź sobie, że dla każdego kąta n-kąta wypukłego zaznaczamy jeden z kątów przyległych do tego kąta. Uzasadnij, że suma wszystkich zaznaczonych w ten sposób kątów jest równa 360 stopni.

[anna_]

\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt wewnętrzny
\(\displaystyle{ \beta}\)- jeden z kątów zewnętrznych przyległych do \(\displaystyle{ \alpha}\)

\(\displaystyle{ \alpha=180^o- \frac{360^o}{n}}\)
\(\displaystyle{ \beta=180^o-\alpha=180^o-(180^o- \frac{360^o}{n})=\frac{360^o}{n}}\)

Kątów równych kątowi \(\displaystyle{ \beta}\) jest \(\displaystyle{ n}\)

Szukana suma to \(\displaystyle{ n \cdot \beta=n \cdot \frac{360^o}{n}=360^o}\)

[vertia]

Miara kąta przyległego do kąta wewn. \(\displaystyle{ 180 ^{\circ}- \alpha}\)
a więc suma wszystkich
\(\displaystyle{ 180 ^{\circ}- \alpha _{1}+ 180 ^{\circ}- \alpha _{2} + ... +180 ^{\circ}- \alpha _{n}=n \cdot 180^{\circ} -(\alpha _{1}+\alpha _{2}+ ... +\alpha _{n})}\)
Suma kątów wielokąta wypukłego
\(\displaystyle{ (n-2) \cdot 180^{\circ}=\alpha _{1}+\alpha _{2}+ ... +\alpha _{n}}\)
a więc
\(\displaystyle{ n \cdot 180^{\circ} - (n-2) \cdot 180^{\circ}=360 ^{\circ}}\)

[piotrek1703]

Serdeczne dzięki za pomoc!!! Naprawdę jestem wdzięczny!
I jeśli mogę jeszcze prosić o sprawdzenie mi tego zadania czy dobrze zrobiłem :
Z jednego wierzchołka pewnego wielokąta wypukłego można poprowadzić 100 przekątnych. Uzasadnij, że największy kąt tego wielokąta ma więcej niż 175 stopni. A więc ja zrobiłem to zadanie tak:
n - 3 = 100
\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\) = \(\displaystyle{ \frac{100n}{2}}\) = 50n
\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2}}\) = 50n | *2
\(\displaystyle{ n^{2}}\) - 3n = 100n
\(\displaystyle{ n^{2}}\) = 103n | :n
n = 103

(n-2)*180 = (103-2)*180 = 101*103 = 18180

\(\displaystyle{ \frac{18180}{103}}\) > 175 | * 103

18180 > 18025

Czy dobrze zrobiłem to zadanie???

[anna_]

\(\displaystyle{ (n-2) \cdot 180 = (103-2) \cdot 180 = 101 \cdot 180 = 18180}\)
dalej zrobiłabym troszkę inaczej
\(\displaystyle{ \frac{ 18180}{103} \approx 176,5}\)

[piotrek1703]

aha.. chyba juz wiem dlaczego... ok.. dzieki wielkie za pomoc!