Dwa okręgi i równość kątów.

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 3 gru 2009, o 17:53

Dane są dwa okręgi o wspólnym środku O i średnicach odpwiednio AB i CD (punkty A,B,C,D i O są współliniowe oraz |AB|>|CD|). Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu, punkt R leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O,P i R są współliniowe. Udowodnij, że \(\displaystyle{ | \sphericalangle APB| + | \sphericalangle CRD| = 180^{\circ}}\).

adek05 · Post autor: **adek05** » 3 gru 2009, o 19:26

Zauważ, że \(\displaystyle{ AOP \equiv COR}\) na mocy cechy bkb. Oba trójkąty są prostokątne więc:
\(\displaystyle{ |\sphericalangle OAP| + | \sphericalangle APO| = 90}\) oraz \(\displaystyle{ | \sphericalangle CRO|+| \sphericalangle RCO| = 90}\). Teraz z przystawania trójkątów:\(\displaystyle{ |\sphericalangle OAP| = | \sphericalangle CRO|}\) i symetrycznie dla pozostałych kątów. Dodając stronami dostajesz tezę.

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 3 gru 2009, o 19:31

Ale skąd wiesz że one są prostokątne?

adek05 · Post autor: **adek05** » 3 gru 2009, o 19:33

Upsss, nadinterpretacja treści, zaraz postaram się poprawić...

anna_ · Post autor: **anna_** » 3 gru 2009, o 19:35

adek05 pisze:Zauważ, że \(\displaystyle{ AOP \equiv COR}\) na mocy cechy bkb. Oba trójkąty są prostokątne więc:
\(\displaystyle{ |\sphericalangle OAP| + | \sphericalangle APO| = 90}\) oraz \(\displaystyle{ | \sphericalangle CRO|+| \sphericalangle RCO| = 90}\). Teraz z przystawania trójkątów:\(\displaystyle{ |\sphericalangle OAP| = | \sphericalangle CRO|}\) i symetrycznie dla pozostałych kątów. Dodając stronami dostajesz tezę.

Prostokątne to będą tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ OR}\) będzie prostopadłe to \(\displaystyle{ AB}\)

adek05 · Post autor: **adek05** » 3 gru 2009, o 19:39

Tak, jasne. Ale trójkąty tak czy siak są podobne
Kąt COR jest wspólny dla obu trójkątów: APO i COR. Dalej \(\displaystyle{ |AO| = |OR|}\) i \(\displaystyle{ |CO| = |OP|}\) Dalej podobnie z sumy kątów.

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 3 gru 2009, o 19:42

Nie za bardzo widzę to podobieństwo. |AO|=|OR| to napewno, kąt AOR jest wspólny ale potrzebna jest jeszcze jedna cecha.

Poza tym za bardzo nie rozumiem tego rozwiązania...

adek05 · Post autor: **adek05** » 3 gru 2009, o 19:45

\(\displaystyle{ |CO| = |OP|}\), bo P i C leżą na tym samym okręgu.

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 3 gru 2009, o 19:49

No tak ale to mi przecież nic nie daje bo te odcinki leżą na bokach AO i OR :/ A to już wykorzystałem...

adek05 · Post autor: **adek05** » 3 gru 2009, o 19:52

Okej, to ja Ci to rozrysuje, zaraz wrzucę rysunek, może to Ci wyjaśni.

anna_ · Post autor: **anna_** » 3 gru 2009, o 20:06

Z podobieństw trójkątów tak jak tlumaczył adek05, odpowiednie katy takich samych kolorów są równe.
Z sumy katów trójkata ABP wyjdzie to co trzeba.

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 3 gru 2009, o 20:10

Masakra nie mogę się w tym połapać. Mógłby ktoś to rozwiązać? Byłbym naprawdę bardzo wdzięczny. Bardzo proszę abyście podali mi na podstawie czego stwierdzacie że dane trójkąty są podobne. Będę bardzo wdzięczny.

anna_ · Post autor: **anna_** » 3 gru 2009, o 20:19

Trójkąt \(\displaystyle{ COR}\) i \(\displaystyle{ AOP}\)
\(\displaystyle{ |<COR|=|<AOP|}\) - to jest kąt wspólny
\(\displaystyle{ |OR|=|OA|}\) - bo to promień większego okręgu
\(\displaystyle{ |OC|=|OP|}\) - bo to promień mniejszego okręgu

Podobnie trójkąt \(\displaystyle{ OBP}\) i \(\displaystyle{ ODR}\)

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 3 gru 2009, o 20:45

Ok rozumiem to. I jak teraz wykazać tą równość? Które kąty wziąć?

anna_ · Post autor: **anna_** » 3 gru 2009, o 20:49

Widziałeś rysunek?

\(\displaystyle{ | \sphericalangle APB|=y+t}\)
\(\displaystyle{ | \sphericalangle CRD|=x+z}\)

Z sumy kątów trójkąta \(\displaystyle{ ABP}\)
\(\displaystyle{ x+z+t+y=180^o}\)