3 zadanka trapez, pięciokąt itp.

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
Trista
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 1 kwie 2006, o 19:41
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: śląsk
Podziękował: 6 razy

3 zadanka trapez, pięciokąt itp.

Post autor: Trista »

Zadanie 1
Obwód trapezu równoramiennego opisanego na okręgu wynosi 120 cm. Oblicz długości boków tego trapezu, wiedząc, że stosunek długości jego podstaw wynosi 2:3.

Zadanie 2
Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 2 i 10, wiedząc, że w trapez ten można wpisać okrąg.

Wyszło mi, że ramie jest równe 6. Tylko teraz nie wiem jak obliczyć h, żeby obliczyć pole tego trapezu.

Zadanie 3
Pięciokąt, w którym długości wszystkich boków są równe, jest opisany na okręgu. Stosunek pola koła wyznaczonego przez ten okrąg do pola pięciokąta jest równy 3:5. Oblicz długość boku pięciokąta, jeżeli długość promienia okręgu wynosi 3.

Byłabym bardzo wdzięczna, gdyby pomógł mi to ktoś rozwiązać i wytłumaczyć, tak na poziomie liceum
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

3 zadanka trapez, pięciokąt itp.

Post autor: Tristan »

Zad.1
Oznaczmy podstawy przez a,b oraz ramię przez c. Ponieważ trapez opisany jest na okręgu, to zachodzi a+b=2c. Z zadania wiemy, że a+b+2c=120, więc 2c+2c=120, czyli c=30. Z tego mamy, że a+b=60. Z zadania wiemy również, że \(\displaystyle{ \frac{a}{b}=\frac{2}{3}}\), więc \(\displaystyle{ a=\frac{2}{3}b}\). Wstawiając to do równania otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{2}{3}b+b=60}\), więc \(\displaystyle{ b=36}\) oraz \(\displaystyle{ a=24}\).

Zad.2
Rzeczywiście długość ramienia wynosi 6. Wiemy, że jest to trapez równoramienny, więc gdy z końców odcinka będącego podstawą ( tą o długości równej 2) spuścimy na podstawę o długości równej 10, dwie wysokości, to podstawę tą podzielą na odcinki o długości: 4, 2 i 4. Zarazem wysokości te dzielą trapez na 2 trójkąty prostokątne i prostokąt. Trójkąty te są takie same. Ich przeciwprostokątnymi są ramiona trapezu o długości 6, a przyprostokątnymi są części podstaw trapezu o długości 4 oraz wysokości trapezu. Aby policzyć wysokość trapezu skorzystać trzeba z tw. Pitagorasa, tj \(\displaystyle{ 6^2=h^2+4^2}\), z czego otrzymamy \(\displaystyle{ h=2 \sqrt{5}}\), czyli pole trapezu \(\displaystyle{ P=12 \sqrt{5}}\).
Ostatnio zmieniony 29 maja 2006, o 18:59 przez Tristan, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
robert179
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 469
Rejestracja: 24 lip 2005, o 16:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kęty
Podziękował: 111 razy
Pomógł: 13 razy

3 zadanka trapez, pięciokąt itp.

Post autor: robert179 »

Trista pisze: trapezu równoramiennego opisanego na okręgu
=> 2c=a+b
Trista pisze: Obwód trapezu równoramiennego opisanego na okręgu wynosi 120
=>2c+a+b=120
Trista pisze: stosunek długości jego podstaw wynosi 2:3.
=>\(\displaystyle{ \frac{a}{b}=\frac{3}{2}}\)

a i b- podstawy
c - ramię

Rozwiązujesz sobie układzik:
2c+a+b=120
2c=a+b
2a=3b.
Awatar użytkownika
Tristan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2353
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 557 razy

3 zadanka trapez, pięciokąt itp.

Post autor: Tristan »

Zajrzałem do tablic mat., gdzie jest napisane, że : Pole n-kąta foremnego \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} nar}\), gdzie a- bok n-kąta foremnego oraz r- promień okręgu wpisanego w n-kąt foremny.
W naszym przypadku mamy pieciokąt foremny, więc \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} 5 a 3}\), albowiem wiemy, że r=3 z zadania. Czyli \(\displaystyle{ P=\frac{15}{2} a}\). Pole koła to oczywiści \(\displaystyle{ P_{k}=\pi r^2=9 \pi}\). Z zadania wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{P_{k}}{P}=\frac{3}{5}}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{9 \pi }{ \frac{15}{2} a}= \frac{3}{5}}\), skąd wyliczamy, że \(\displaystyle{ a= 2 \pi}\).
Awatar użytkownika
Trista
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 1 kwie 2006, o 19:41
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: śląsk
Podziękował: 6 razy

3 zadanka trapez, pięciokąt itp.

Post autor: Trista »

Dziękuje wam za poświęcenie mi czasu Bardzo mi pomogliście
ODPOWIEDZ