długość odcinka łączącego boki trójkąta

[ponczek93]

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) bok \(\displaystyle{ AB}\) ma długość \(\displaystyle{ c}\). Punkty \(\displaystyle{ M,N}\) leżą na bokach \(\displaystyle{ CA}\) i \(\displaystyle{ CB}\) tak,że \(\displaystyle{ |CM| : |MA|=|CN| : |NB| = 2: 1}\) Wyznacz długość odcinka \(\displaystyle{ MN}\).

[wb]

Niech |MN|=x

|CM|=2a
|MA|=a
|CN|=2b
|NB|=b
Ponieważ:
\(\displaystyle{ |CM|:|CN|= \frac{2a}{2b}= \frac{a}{b}}\)
oraz
\(\displaystyle{ |AM|:|BN|= \frac{a}{b}}\)
więc na mocy tw. odwrotnego do tw. Talesa:
\(\displaystyle{ MN||AB}\)
Z tw. Talesa:
\(\displaystyle{ \frac{2a}{x}= \frac{3a}{c} \\ \frac{2}{x}= \frac{3}{c} \\ x= \frac{2c}{3}}\)