kilka zadań - wielokąty

[squash]

1.
W dany trapez można wpisać okrąg i na danym trapezie można opisać okrąg. Wysokość tego trapezu poprowadzona z wierzchołka przy krótszej podstawie dzieli dłuższą podstawę na dwa odcinki. Dłuższy odcinek ma długość 10cm. Oblicz obwód tego trapezu.

2.
Uzasadnij, że w wielokącie wpisanym w okrąg, mającym parzystą liczbę wierzchołków, suma miar kątów o numerach parzystych równa się sumie kątów o numerach nieparzystych.

3.
Na jakich: a) trapezach , b) równoległobokach można opisać okręgi??

4.
Na trapezie opisano okrąg o promieniu długości 25cm. Dłuższa podstawa trapezu jest średnicą tego okręgu. Wiedząć, że przekątna trapezu ma długość 40 cm, oblicz obwód tego trapezu.

[silicium2002]

Ad 1 Jest to trapez równoramienny (nie równoległoboczny) w którym \(\displaystyle{ 2r = a + b}\). Dalej: jeżeli ta wysokość dzieli nam podstawę (a) na część 10 i x to znaczy że \(\displaystyle{ a + b = 20}\) wobec czego \(\displaystyle{ 2r = a + b = 20}\) i \(\displaystyle{ obwod = 20 + 20 = 40}\)

Ad 3 Tylko na trapezie równoramiennym nie będącym równoległobokiem, chyba że jest prostokątem; na równoległoboku będącym prostokątem

Ad 4
\(\displaystyle{ {
\begin{pspicture}(0,-3.1)(6.8925,3.1)
\pscircle[linewidth=0.04,dimen=outer](3.4653125,0.0){3.1}
\psline[linewidth=0.04cm](0.4053125,0.02)(6.5253124,0.02)
\psline[linewidth=0.04cm](0.3653125,0.06)(1.4253125,2.3)
\psline[linewidth=0.04cm](1.4253125,2.3)(5.4853125,2.3)
\psline[linewidth=0.04cm](5.4853125,2.3)(6.5053124,0.08)
\psline[linewidth=0.04cm](0.4253125,0.06)(5.4853125,2.28)
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(3.6503124,-0.33){50}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(2.9360938,1.79){40}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(6.6715627,1.47){30}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(0.1515625,1.49){30}
\usefont{T1}{ptm}{m}{n}
\rput(3.5578125,2.91){10}
\end{pspicture}
}}\)

Obwód to \(\displaystyle{ 30 + 30 + 50 + 10 = 120}\) Pitagoras + kąt oparty na średnicy jest prosty + 2r = a + b